Как оформить совмещение: Оформление совмещения профессий (должностей)

Что такое внутреннее совмещение должностей?

Совмещению должностей посвящена статья 60.2 Трудового кодекса РФ. Согласно данному в этой правовой норме определению, подобный режим работы заключается в делегировании работнику дополнительных должностных обязанностей по другой или такой же должности за отдельную плату.

На практике совмещение должностных обязанностей возможно как на постоянной основе, когда сотрудник уже принимаясь на работу, предупреждается о совмещении, так и временно, в связи с производственной необходимостью или, к примеру, для замены отсутствующего работника. Предельных сроков совмещения закон не устанавливает, отдавая этот вопрос на усмотрение работодателя. Работодатель же определяет объем совмещения и содержание обязанностей. От работника при этом требуется лишь согласие на совмещение вообще и на сроки, объем и содержание совмещения в частности.

Важный момент: в связи с тем, что при внутреннем совмещении должностей исполнять добавочные обязанности назначается работающий в организации сотрудник, то есть тот, кто уже прошел испытательный срок, новый испытательный срок, если он предполагается для должности по совмещению, соискателю не назначается.

Нюансы оформления внутреннего совмещения должностей

Прежде чем перейти к вопросам оформления работы в режиме совмещения должностей, стоит обозначить основную ошибку, которую зачастую совершают работодатели при оформлении дополнительных трудовых обязанностей сотруднику. Эта ошибка состоит в подмене понятий совмещения должностей и внутреннего совместительства. Так как фактически внутреннее совместительство является выполнением трудящимся дополнительных должностных обязанностей в рамках одной организации, важно определить критерии, по которым можно отличить один режим соединения трудовых функций от другого.

Например:

1. Время выполнения. Совмещение предполагает исполнение трудовых функций в одну рабочую смену (т. е. одновременно с основной занятостью), тогда как внутреннее совместительство требует исполнение добавочных трудовых функций после основной работы (т. е. по окончании трудового дня или в свободные от основной работы дни).
2. Оплата. Режим совмещения позволяет рассчитывать на доплату, тогда как при внутреннем совместительстве оплата труда исчисляется исходя из оклада, который причитается по штатному расписанию за выполнение должностных обязанностей той или иной штатной единицы, пропорционально отработанному времени.
3. Оформление. Совмещение происходит в рамках одного и того же трудового договора с сотрудником, внутреннее же совместительство требует оформления отдельного трудового договора на кандидата. Более того, сотруднику присваивается еще один табельный номер.
4. Ограничения. Ограничений на совмещение должностей законодатель не предусмотрел, внутреннее же совместительство невозможно в отношении несовершеннолетних, занятых работой в опасных или вредных условиях труда, госслужащих, а также сотрудников, управляющих транспортными средствами.
5. Добавление должностных обязанностей к уже имеющимся у работника — это изменение условий его труда. Если при этом расширенный перечень должностных функций не согласован в трудовом договоре (он, как правило, содержит перечень должностных обязанностей только по основной работе), требуется подписание дополнительного соглашения к трудовому договору между сотрудником и нанимателем. В допсоглашении должны быть прописаны не только новые трудовые функции работника, но и вопросы оплаты добавочного труда и иные особенности работы в режиме совмещения должностей.
6. Несмотря на то что закон требует обязательного согласия сотрудника на совмещение, законодательной формы такого одобрения не предусмотрено, поэтому согласие зачастую оформляется в виде заявления от работника на имя работодателя. Если же дополнительное соглашение к трудовому договору подписывается обеими сторонами трудовых отношений, уже сам факт заключения такого соглашения можно расценивать как согласие сотрудника на работу в режиме совмещения, поэтому отдельного документа, подтверждающего это, не требуется.
7. На основании заключенного допсоглашения оформляется приказ по предприятию о совмещении должностей в отношении определенного сотрудника. Требований, касающихся внесения записи о совмещении профессий в трудовую книжку, законодательством не установлено.

Как оформить внутреннее совмещение

Далее рассмотрим порядок оформления необходимых документов подробнее.

Дополнительное соглашение о совмещении должностей

Допсоглашение к трудовому договору о совмещении должностей должно быть оформлено по тем же правилам, что предусмотрены для основного документа. То есть соглашение составляется в письменной форме, содержит данные, идентифицирующие работника, и подписывается обеими сторонами трудовых отношений (работником и руководителем организации).

Кроме того, в допсоглашении о совмещении должностей должны быть указаны:

1. Вид дополнительной работы, к которой привлекается сотрудник, с перечислением должностных обязанностей либо отсылкой к должностной инструкции по дополнительной должности.
2. Период выполнения совмещенной работы.
3. Размер оплаты за выполнение дополнительной работы.
4. Иные существенные условия предстоящего совмещения.

Приказ о совмещении должностей

Форма приказа о совмещении должностей законодательно не установлена, поэтому приказ составляется в обычной для подобных документов форме в соответствии с внутренними требованиями организации.

В содержательной части приказа, как правило, указываются:

• вид и объем дополнительных обязанностей;
• должность, по которой устанавливается совмещение;
• период выполнения совмещения;
• размер оплаты за совмещение.

Кроме того, в приказе необходимо отразить особенности и нюансы работы в режиме совмещения (к примеру, условие о материальной ответственности сотрудника или о праве принятия управленческих решений).

Сотрудник должен быть ознакомлен с приказом под подпись.

Порядок оплаты при совмещении должностей

Об особенностях оплаты труда при совмещении должностей рассказывает статья 151 ТК РФ. При этом какой-либо конкретной информации эта норма не дает, разрешая устанавливать размер доплаты по соглашению сторон с учетом характера и объема выполняемой по совмещению работы.

На практике размер оплаты за совмещение может быть установлен как в абсолютном значении (в рублях), так и в процентном соотношении к окладу, причитающемуся по штатному расписанию сотруднику в должности, по которой происходит совмещение. При этом верхних значений по оплате не предусмотрено, но косвенно таким ограничением может служить, например, объем средств, запланированных на оплату совмещения.

Важно также помнить, что оплата за совмещение облагается налогом на доходы физических лиц и страховыми взносами, включается в средний заработок во всех необходимых случаях, а также учитывается при расчете больничных выплат и пособий по беременности и рождению ребенка.

Отпуск и отпускные при внутреннем совмещении

Несмотря на то что сотрудник трудится в режиме совмещения, ежегодный оплачиваемый отпуск предоставляется ему по основному месту работы в соответствии с утвержденным графиком отпусков. На время пребывания в отпуске сотрудник освобождается от исполнения должностных обязанностей как по основной, так и по совмещаемой работе.

Отдельных отпускных дней за выполнение работ по совмещаемой должности законом не предусмотрено. При этом на расчет отпускных выплат совмещение влияет: если в расчетном периоде, применяемом для исчисления отпускных (12 месяцев перед отпуском, согласно ст.  139 ТК РФ), сотруднику производилась доплата за совмещение должностей, эти суммы учитываются при начислении.

Прекращение внутреннего совмещения

Несмотря на то что и в допсоглашении к трудовому договору, и в приказе по личному составу целесообразно указывать срок, в течение которого предполагается работа в режиме совмещения, и работник, и работодатель вправе прекратить совмещение досрочно. Такое положение установлено статьей 60.2 ТК РФ.

При этом норма статьи наделяет работника безусловным правом отказаться от работы по совмещению, не ограничивая это право ни сроками заблаговременного предупреждения, ни иными условиями. Право же руководства организации досрочно прервать совмещение должностей сотрудником дополняется необходимостью поставить об этом работника в известность не позднее чем за 3 дня в письменном виде. То есть предполагается, что если совмещение должностей досрочно прерывается нанимателем, то об этом составляется специальный документ — уведомление, с которым сотрудник должен быть ознакомлен под подпись.

Важно: независимо от того, кто проявил инициативу по прекращению работы в режиме совмещения — сотрудник или руководство предприятия, к трудовому договору должно быть оформлено допсоглашение об этом. Допсоглашение подписывается обеими сторонами, на основании соглашения работодатель издает приказ о досрочном прекращении работы в режиме совмещения должностей в отношении конкретного работника. С приказом необходимо ознакомить работника, который должен подтвердить свою осведомленность личной подписью. Если же совмещение должностей заканчивается в связи с окончанием запланированного срока, установленного ранее в дополнительном соглашении к трудовому договору и приказе, приказ об окончании срока совмещения оформлять необязательно.

Таким образом, порядок оформления документов на работу в режиме совмещения должностей не представляет каких-либо сложностей, но требует понимания разницы между совмещением и внутренним совместительством.

Как оформить совместительство сотрудника: правильно оформляем работу совместителя

Анастасия Волошенко

редактор Тинькофф Бизнеса

Этот материал обновлен 10. 09.2021

Иногда компании нужен новый сотрудник, но задач для него есть только на пару часов в день. Возникает вопрос, как оформить такого человека.

Бухгалтеры старой закалки могут предложить вариант «по совместительству». Но в реальности он не самый удобный. Разберемся, когда подходит совместительство, а когда лучше выбрать другой способ.

Что вы узнаете

Что такое совместительство

В законе есть термин «работать по совместительству». Это значит, что у человека есть две работы: основная и дополнительная. Дополнительной он занимается в свободное время — после рабочего дня или на выходных. Например, работает в одной компании маркетологом, а по выходным настраивает рекламу в агентстве.

Работодатель требует, чтобы я перешла на работу по совместительству

Совмещать можно и внутри одной компании. Например, с 9 до 18 сотрудник работает администратором, а с 18 до 19 — уборщиком.

Главное условие — работать по совместительству вне рабочего времени и не больше 4 часов в день. Если администратор обязан мыть полы во время рабочего дня, то это уже не совместительство, а совмещение обязанностей. Об этом дальше.

Как вести бизнес без штрафов

Зарабатывать больше и не нарушать закон. Раз в месяц — в нашей рассылке для предпринимателей

Когда подходит совместительство

В реальности не так много ситуаций, когда подходит именно совместительство. Это скорее термин из прошлого: он есть в трудовом законодательстве и его любят бухгалтеры старой закалки. Вот случаи, когда им выгодно воспользоваться.

Есть вакансия на полставки, но желаемый кандидат уже работает в другом месте. Обычно это касается простой работы на два-три часа. Например, вам нужно, чтобы уборщица мыла офис утром и вечером. Удобно нанять женщину, которая работает уборщицей в других компаниях.

Быстро заменить другого сотрудника. Например, дежурный горячей линии внезапно уволился или взял длительный больничный. Пока вы ищете замену, можно попросить администратора выполнять его работу по совместительству. Важно, чтобы этот сотрудник мог работать вне основного рабочего времени.

Другие варианты оформления сотрудника на неполный рабочий день

Кроме работы по совместительству есть другие варианты оформления: совмещение, гражданско-правовой договор (ГПД) или работа на полставки.

Схема такая:

• Если сотрудник нигде больше не работает → на полставки.
• Если он делает дополнительную работу в свое рабочее время → совмещение.
• Если надо выполнить одну конкретную задачу → ГПД.

На полставки. Если у сотрудника нет другого места работы, его оформляют на полставки и заключают обычный трудовой договор. Совместительство в этом случае не подходит, потому что человек больше нигде работает. И если оформить это как совместительство, можно получить штраф.

По совмещению. Этот режим работы похож на совместительство, но в этом случае человек выполняет дополнительные обязанности не в свободное время, а во время своего рабочего дня.

Например, администратор берет роль уборщика и моет полы во время смены. Или бухгалтер берет больше работы и ведет еще одну компанию холдинга, но при этом работает так же с 9 до 18.

Совмещение можно оформить только для сотрудника из своей же компании. Новый трудовой договор заключать не надо, достаточно подписать допсоглашение и договориться о доплате за новые обязанности.

Гражданско-правовой договор. Это договор с физлицом на выполнение конкретной работы, например на написание статьи или верстку сайта. При работе по ГПД вы не оформляете сотрудника в штат, вам не надо платить взносы в связи с материнством, а еще отпускные и больничные. Заплатить придется только НДФЛ, взносы на ОМС (5,1%) и ОПС (22%).

Правда, налоговая пристально следит за такими договорами. Чтобы его не приравняли к трудовому, обязательно обозначить конкретный объем работы, результат, срок выполнения и фиксированную сумму вознаграждения. Например, сверстать сайт к 21 февраля 2020 года за 20 000 Р.

Для регулярной работы вроде администратора или бухгалтера этот вариант не подходит.

Сравнение условий в разных вариантах

Совместительство

За что платим

Оплата за процесс

Для кого подходит

Любой человек, у которого уже есть первая работа

Сколько платим

Отдельная зарплата

Когда работает

Вне основного рабочего времени

Как оформить

Новый трудовой договор

Трудовая книжка

Запись вносится по желанию сотрудника

Налоги и взносы

Как за еще одного сотрудника

Отпуск

Отдельный отпуск

Увольнение

Отдельно по всем правилам Трудового кодекса РФ

За что платим

Оплата за процесс

Для кого подходит

Только сотрудник вашей компании

Сколько платим

Доплата к зарплате

Когда работает

В свой основной рабочий день

Как оформить

Допсоглашение к трудовому договору

Трудовая книжка

Нет записи

Налоги и взносы

Увеличивается сумма выплат с учетом доплаты

Отпуск

Увеличиваются отпускные

Увольнение

Расторгнуть допсоглашение по согласованию сторон можно в тот же день. Если работодатель хочет расторгнуть сам — должен уведомить за 2 месяца

За что платим

Оплата за результат, например сверстанный сайт

Для кого подходит

Любой человек

Сколько платим

Фиксированное вознаграждение

Когда работает

Когда хочет, график работы не фиксируется

Как оформить

Гражданско-правовой договор

Трудовая книжка

Нет записи

Налоги и взносы

Платим НДФЛ и взносы на ОПС (22%) и ОМС (5,1%). Не платим взносы в связи с материнством

Отпуск

Нет отпуска

Увольнение

На условиях расторжения, указанных в самом договоре

Разница между совместительством и совмещением

Совместительство и совмещение — разные понятия.

Совместительство — вне рабочего времени и с любым человеком, у которого есть основная работа. Неважно, в вашей компании или в чужой.

Совмещение — только со своим сотрудником и в основное рабочее время.

Если администратор моет полы вместо уборщицы после своего рабочего дня — это совместительство, если во время смены — совмещение.

Поэтому, если сотрудник уже работает на вас, проще выбрать совмещение. Но если новые обязанности не вписываются в основной рабочий день или сотрудник работает в другой компании — остается совместительство.

Кого нельзя оформить по совместительству

1. Сотрудников, у которых нет другой официальной работы.
2. Сотрудников, которые выполняют дополнительные обязанности в свое основное рабочее время.
3. Лиц младше 18 лет.
4. Водителей, пилотов, если по совместительству та же работа.
5. Всех госслужащих — чиновников и военных.
6. Работников с вредными и опасными условиями труда, если по совместительству такие же условия.

Как оформить совместителя

Порядок действий такой:

1. Попросите показать паспорт. Если надо, можете запросить диплом.
2. Для оформления трудовая книжка не нужна, она хранится у основного работодателя. Делать в ней запись не обязательно, только если сотрудник просит. Ранее запись о работе по совместительству вносил работодатель по основному месту работы. С 1 сентября 2021 года это сможет сделать и работодатель по совместительству, если основной работы у совместителя нет.
3. Заключаете трудовой договор по совместительству. Он похож на обычный, но важно четко прописать два момента: работа в этой должности является для сотрудника работой по совместительству; рабочий день составляет не больше 4 часов.
4. Сделайте приказ о приеме на работу по совместительству и уведомите о нем сотрудника под подпись.

Если сотрудник — собственник юрлица, ИП или мама в декрете, его все равно можно оформить по совместительству в другой компании. Никаких специальных документов не нужно.

Я работаю официально, но хочу еще открыть ООО

Если сотрудник — гендиректор другого юрлица, нужно письменное разрешение от собственника юрлица или совета директоров.

Кто платит отпускные, больничные и декретные

Работодатели платят взносы за совместителей и предоставляют соцпакет.

Отпуск. Совместитель уходит в отпуск во всех местах работы одновременно. Работодатель на втором месте работы обязан его отпустить, даже если он еще не проработал 6 месяцев. В этом случае отпуск дается авансом. Выплачивают отпускные оба работодателя.

Больничный. Если совместитель заболел, он получает больничные на всех местах работы, даже если их десять.

Декрет. Уйти в декрет можно во всех местах работы одновременно, если хотя бы в одном сотрудник проработал больше 6 месяцев.

Выплаты по беременности и родам назначают по каждому месту работы, а пособие по уходу за ребенком только по одному — по выбору матери. С 2021 года во всех регионах РФ пособия выплачивает работнику напрямую Фонд социального страхования.

Как уволить совместителя

Правила увольнения почти такие же, как у обычного сотрудника: легче всего уволить по собственному желанию. Если человек не хочет уходить, его можно сократить или уволить за прогул — это сложнее: надо собирать доказательства и оформлять документы. Условия такие же, как в трудовом кодексе для обычного увольнения.

Для совместителя есть дополнительная причина: его можно уволить, если на эту должность наняли основного работника. Такое принудительное увольнение оформить проще всего.

Порядок действий такой:

1. Письменно уведомите сотрудника за 14 дней до увольнения. В качестве причины укажите, что наняли сотрудника, для которого эта работа будет основной.
2. Рассчитайтесь с сотрудником по зарплате и компенсации за неиспользованный отпуск, если она положена.
3. Сделайте стандартный приказ об увольнении. Сотрудник должен его подписать в последний рабочий день.

Хочу уволить плохого сотрудника

Главное о совместительстве

1. Совместительство выгодно, когда вы нанимаете на неполный рабочий день человека, у которого уже есть основная работа в другой компании. Или если даете своему сотруднику дополнительную работу, которую он не может выполнять в свой рабочий день.
2. Работа по совместительству должна занимать не больше 4 часов в день.
3. Для всех остальных случаев выгоднее другие варианты оформления.
4. Фактически оформление по совместительству не отличается от заключения обычного трудового договора. Условия те же — платить отдельную зарплату, перечислять все налоги и страховые взносы. Оплачивать отпуск, декрет и больничные.

Согласие на совмещение должностей: образец 2021

Такой документ является обязательным, если работодатель решил за дополнительную плату расширить круг обязанностей работника или сотрудник проявил такую инициативу.

Что такое совмещение

В соответствии со статьей 60.2 ТК РФ совмещение определяют как трудовую деятельность, которую человек осуществляет в штате той же компании вместе с основными обязанностями на протяжении рабочего дня. Для официального оформления работодатель получает от сотрудника заявление с согласием на совмещение должностей. Документ оформляют в письменном виде, его должен подписать сотрудник, согласившийся с предлагаемыми ему условиями.

Когда чаще всего применяется

Как определяет ст. 60.2 ТК РФ, дополнительной становится работа по профессии сотрудника или по иной специальности. При аналогичной профессии функции добавляют посредством расширения сфер обслуживания либо наращивания объема функций. Возможно замещение отсутствующего сотрудника, если он временно не имеет возможности трудиться, но должность за ним сохраняется.

Порядок совмещения

Сроки дополнительной работы устанавливает работодатель. Сотрудник дает свое согласие на исполнение дополнительных обязанностей в одной организации или отказывается. То же относится к объемам и содержанию обязанностей.

За вторую трудовую функцию сотруднику полагается доплата. Ее величину устанавливают совместно обе стороны договора, когда уже оформлено письменное согласие работника на выполнение дополнительной работы. Нормативные акты никак не ограничивают величину такой доплаты — ни минимальную, ни максимальную. Об этом говорится в статье 151 ТК России.

На уровне законодателя алгоритм, как подписывать документы при совмещении должностей, не установлен, поскольку единственным документом, который подписывает сотрудник, является отсутствие его возражений и его письменное согласие совместить должности. Алгоритм оформления следующий:

1. Получить согласие сотрудника в письменном виде.
2. Утвердить факт совмещения распорядительным документом за подписью руководства организации.
3. Заключить допсоглашение к трудовому договору, указав в нем:
   • согласованные условия по характеру и объему функций;
   • сроки начала и окончания исполнения;
   • размеры оплаты труда.

Длительность сотрудничества устанавливают по договоренности двух сторон.

По какой форме писать согласие

Когда устный консенсус достигнут, составляют согласие на выполнение дополнительной работы, образец которого включает следующую информацию:

1. Вид новых обязанностей с перечнем должностных обязанностей или отсылкой к соответствующей должностной инструкции.
2. Временные рамки.
3. Величина доплаты.
4. Прочие существенные условия.

Вот образец, заполненный в соответствии с указанным алгоритмом:

Как оформить и аннулировать

Согласие на совмещение должностей представляет собой заявление. Это значит, что оформляют его в произвольном виде. Если в учреждении утвержден шаблон, документ пишут по установленному образцу.

Оформляют на листе А4 от руки или с использованием компьютерной техники. В конце документа ставят подпись. Оформляют два экземпляра, один — работодателю, второй — для себя. Работодатель ставит отметку на полученном экземпляре.

Алгоритм оформления следующий:

1. Указать адресата — название учреждения, Ф. И. О. руководителя.
2. Указать собственные данные — должность, Ф. И. О.
3. Написать в середине строки слово «Заявление», ниже — о чем оно.
4. Сформулировать основную часть — обозначить, кто и когда обратился с предложением совмещать должности, проинформировать о согласии.
5. Обозначить сумму доплаты.
6. Поставить подпись, дату.

Для примера образец согласия на совмещение должностей от работника, заполненный при отсутствии возражений сотрудника на выполнение дополнительной функции.

После того как документ оформлен, возникает вопрос, куда подшивать согласия на совмещение и где хранить. Документ помещают в личное дело и хранят в организации.

Аннулирование проводится по инициативе работника и работодателя. В первом случае понадобится заявление с указанием даты. Причины отказа упоминать необязательно (согласно статье 60.2 ТК РФ). На документе ставят подписи заявителя и того, кто принял заявление.

От работодателя при его желании расторгнуть договор потребуется уведомление об отмене совмещения должностей вне зависимости от того, срочный договор или бессрочный. И заявление, и уведомление должны появиться за 3 дня до прекращения выполнения дополнительных обязанностей. Чтобы избежать недоразумений, имеет смысл оформлять эти бумаги за 4 дня до расторжения сотрудничества.

После ознакомления и подписания этих бумаг издается приказ. Он составляется в свободной форме.

Совмещение должностей (профессий) в одной организации

Работник имеет право расширить зону действия обязанностей или увеличить объем выполняемых работ в пределах трудового дня или смены.

Совмещение должностей оформляется на основании договоренности работодателя и сотрудника.

Правовой статус совмещения и его особенности

Оформляется совмещение должностей в одной организации при условии близости рабочих мест по основному и дополнительному трудоустройству.

Возможность совмещения обязанностей по другой должности возникает в случае временного отсутствия работника или наличия вакантной должности.

Документальным подтверждением возможности служат:

• Штатное расписание с наличием должности, не занятой работником.
• Табель учета с указанием кода причины и периода отсутствия сотрудника.

Определить срок отсутствия работника позволяют формы первичного учета, одновременно подтверждающие уважительность причины – заявление и приказ на отпуск без сохранения заработной платы или отпуск по уходу за ребенком, листок нетрудоспособности.

Порядок определения дополнительных обязанностей зависит от характера совмещаемой должности.

Работнику поручается:

• Исполнение обязанностей по должности, идентичной занимаемой. Совмещение заключается в увеличении объема работ с отсутствием четкого разграничения порядка исполнения обязанностей.
• Вменение обязанностей по должности, не совпадающей с основной. Суть совмещения состоит в расширении зоны обслуживания с четким определением круга обязанностей.

Сумма вознаграждения за исполнение дополнительных обязанностей устанавливается в процентах к окладу или в виде фиксированной суммы.

Нормативная база

При определении порядка составления документов и того, как правильно оформить совмещение, необходимо придерживаться положений ТК РФ.

Трудовой кодекс РФ

На законодательном уровне оформление совмещения установлено в ст. 60.2 ТК РФ.

Положение определяет возможность исполнения обязанностей временно отсутствующего работника или расширения зоны обслуживания в период трудового дня сотрудника.

Основные критерии обязанностей, продолжительности и оплаты внутреннего совмещения определяются по обоюдному согласованию сторон.

Для каких должностей и профессий возможно?

ТК РФ не ограничивает право совмещать должности.

В отличие от совместительства, при котором имеется четкий перечень специальностей, должностей, не допускающих дополнительное трудоустройство, совмещение разрешено для всех профессий и должностей.

Ограничения

Дополнительная работа сотрудника ограничивается:

• Одним работодателем.
• Временем трудового дня (смены).
• Возможностями и квалификацией сотрудника, допущенного к совмещению обязанностей.

Установленный порядок совмещения должен быть закреплен внутренними документами трудового распорядка.

Риски для работника и работодателя

Оформление совмещения должностей или профессий даже на бессрочный период можно прекратить по желанию любой из сторон.

Работник или работодатель имеют возможность расторгнуть соглашение, предупредив каждую из сторон за 3 дня. В этом заключается основной риск.

В вопросах совместительства множество неопределенностей, устраняемых судебной практикой, решения по которой является прецедентом.

Например, возникают вопросы соответствия оплаты исполняемым обязанностям, отсутствия согласия работника, начисления северных коэффициентов к доплате.

Как оформить совмещение должностей на одном предприятии?

Инициатором возложения дополнительных обязанностей на сотрудника может выступать работодатель или работник.

Оформление совмещения работника производится на основании добровольно высказанного в письменном виде согласия:

• Работника, если инициатива расширения обязанностей исходит от работодателя. Руководителем составляется служебная записка, на которой работник выражает согласие.
• Работодателя, если инициатива совмещения исходит от работника. На заявлении, поданном работодателю, руководитель ставит письменное заключение.

Обе формы обращения имеют юридическую силу и действительны для составления приказа только после согласования.

Документы

При документальном сопровождении операции производится подача заявления сотрудника работодателю.

Форма бумаги произвольная, с включением в текст данных:

• наименования предприятия, ФИО руководителя;
• данных сотрудника – ФИО и занимаемой должности;
• названия совмещаемой должности;
• описания обязанностей при расширении круга задач.

Работодатель также имеет право разработать и обратиться к сотруднику с предложением о совмещении.

В письменном обращении в форме служебной записки указываются:

• данные предприятия и подразделения;
• должность, по которой требуется оформить совмещение обязанностей;
• краткое описание обязанностей и круга или объема работ;
• доплата, предоставляемая лицу.

Пример заявления работника:

Пример предложения работодателя:

После достижения согласования сторон о порядке исполнения обязанностей и величине вознаграждения совместительство подлежит оформлению на основании заявления работника или поручения работодателя.

Кадровая служба производит:

• Издание приказа о совмещении работ сотрудником. В приказе указывается срочное либо бессрочное исполнение обязанностей и порядок оплаты. Приказ должен быть подписан работодателем и сотрудником.
• Составление дополнительного соглашения к договору. Дополнительное соглашение оформляется в 2-х экземплярах, имеющих равнозначную юридическую силу. Один документ вручается работнику, второй хранится у работодателя вместе с основным трудовым договором.

Пример приказа:

Образец дополнительного соглашения о совмещении:

Дополнительное соглашение к трудовому договору (совмещение)

Нюансы при приеме на работу

Если дополнительные обязанности предусматриваются на стадии оформления основного договора, их можно включить в состав условий в случае бессрочного характера совмещения работ.

В документ вносится пункт «особые условия трудовых обязанностей» и условие размера доплаты за расширение функций.

Прекращение совмещения обязанностей и изменение условий оформляется дополнительным соглашением на основании заявления и приказа.

Для работающих в организации

Расширение круга обязанностей внутри производства и в рамках рабочего времени не требует оформления нового договора.

Исполнение обязанностей вне трудового договора по основной работе меняет условия трудоустройства, что влечет необходимость закрепления совмещения новым соглашением.

Дополнительное соглашение является неотъемлемой частью основного трудового договора и подлежит подписи обоих сторон и регистрации в журнале.

Вносится ли запись в трудовую книжку?

Запись о совмещении в трудовую книжку не вносится.

Обязанности, исполняемые в рамках одного договора, не требуют дополнительного оформления.

Как отразить в табеле?

Внесение в табель исполнения работ не производится.

При оформлении работнику не присваивается дополнительный табельный номер.

Сотрудник табелируется по основному месту трудоустройства, в том числе и при совмещении работы вакантной должности.

Сроки

Период совмещения определяется по согласованию сторон в зависимости от занятости должности.

Допускается срочное (временное) или бессрочное оформление.

В зависимости от занятости должности совмещение может быть:

• Временным. Временный характер совмещения возникает в случае исполнения обязанностей отсутствующего по уважительной причине сотрудника – на период отпуска по уходу за ребенком, болезни и прочих основаниях. В заявлении и приказе указывается период совмещения.
• Постоянное. Постоянный характер совмещение имеет, если сотрудник оформлен на вакантную должность бессрочно. Свободная должность должна быть утверждена в штатном расписании.

Совмещение для работника имеет свои минусы и плюсы.

К отрицательным сторонам относятся ограничение размера доплаты в пределах совмещаемого оклада без учета доплат и отсутствие возможности получать стимулирующие выплаты, положенные при исполнении обязанностей.

К положительным сторонам относятся возможность получения дополнительного дохода без траты времени и отработки, включения сумм в доход, учитываемый при расчете отпускных, листка нетрудоспособности.

Совмещение профессий и другие виды дополнительной работы

Работнику, с его письменного согласия, наряду с работой, определенной трудовым договором, может быть поручено выполнение дополнительной работы по другой или такой же профессии (должности)*(1) за отдельную плату*(2).

Частью 2 статьи 60.2 Трудового кодекса установлены три варианта (вида) дополнительной (без освобождения от основной) работы в одной и той же организации в течение установленной продолжительности рабочего дня (смены).

Так, совмещение профессий (должностей) предполагает выполнение дополнительной работы по другой профессии (должности).

Если совмещаемая профессия (должность) аналогична основной работе, то целесообразно использовать другой вариант — расширение зоны обслуживания либо увеличение объема работ.

Третий вид дополнительной работы поименован как исполнение обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от работы, определенной трудовым договором. В данном случае работнику может быть поручена дополнительная работа как по другой, так и по такой же профессии (должности).

Правовое регулирование всех трех форм дополнительной работы (в т.ч. в отношении порядка оформления) одинаково. Выбор же той или иной формулировки для отражения дополнительной работы в кадровых документах определяется исходя из конкретных условий и существа работы.

Например, основным условием для применения третьего варианта служит временное отсутствие работника, за которым по закону сохраняется прежнее место работы, в то время как выполнение закрепленного за ним объема работ передается другому сотруднику.

Если же штатная единица является вакантной, то вид дополнительной работы выбирается между первым и вторым вариантом в зависимости от того, совпадает ли она по характеру с основной работой или нет. Поэтому дополнительную работу, связанную с выполнением других функциональных обязанностей по сравнению с основной работой, следует оформить в виде совмещения.

Заметим, что профессия (должность), по которой работнику предлагают дополнительную работу, обязательно должна быть указана в штатном расписании организации. В противном случае в него необходимо внести соответствующие изменения.

Перед тем как перейти к рассмотрению порядка оформления и доплаты за дополнительную работу, условимся, что для определенности мы будем говорить о совмещении должностей (профессий).

Оформление совмещения

Главным отличительным признаком работы на условиях совмещения (и других видов дополнительной работы, приведенных в ст. 60.2 Трудового кодекса) является то, что она выполняется в основное рабочее время. В связи с этим при оформлении совмещения не требуется заключать отдельный трудовой договор, равно как и делать записи в трудовой книжке. Тот факт, что работник совмещает другую профессию или должность, никак не отражается в кадровых документах, где требуется их указывать. Например, в табеле учета рабочего времени проставляются отметки только о работе по основной должности. Отпуск по совмещаемой должности отдельно не оформляется: в приказе о предоставлении отпуска указывается профессия (должность), зафиксированная в трудовом договоре, а работник на время ежегодного оплачиваемого отпуска по основному месту работы освобождается от обязанности выполнения дополнительной работы.

Однако это не означает, что совмещение профессий (должностей) не требует документального оформления.
Трудовым кодексом предусмотрено, что условия совмещения определяются по соглашению сторон. Так, срок, в течение которого работник будет выполнять дополнительную работу, а также ее содержание и объем устанавливаются работодателем с письменного согласия работника*(3). Продолжительность срока совмещения профессий (должностей) не ограничена. В то же время совмещение (равно и другие виды дополнительной работы) всегда может быть досрочно прекращено в одностороннем порядке по инициативе любой из сторон: достаточно уведомить об этом другую сторону в письменной форме не позднее чем за три рабочих дня*(4).
Что касается размера доплаты за выполнение указанной работы, то он устанавливается по соглашению сторон трудового договора с учетом ее содержания и (или) объема*(5).

Исходя из этих требований законодательства, можно составить перечень условий, которые необходимо документально отразить при оформлении совмещения (см. схему ниже).

┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│   Что необходимо зафиксировать в письменном виде при    │
│                  оформлении совмещения                  │
└─┬───────────────────────────────────────────────────────┘
  │   ┌───────────────────────────────────────────────────┐
  │   │ - наименование профессии (должности),  по  которой│
  ├──►┤ будет выполняться дополнительная работа           │
  │   ├───────────────────────────────────────────────────┤
  ├──►┤ - содержание работы                               │
  │   ├───────────────────────────────────────────────────┤
  ├──►┤ - объем работы                                    │
  │   ├───────────────────────────────────────────────────┤
  │   │ -  срок,  в  течение   которого     работник будет│
  │   │ выполнять  дополнительную  работу  тот   факт, что│
  ├──►┤ работник  будет   выполнять   работу   в   течение│
  │   │ установленной   продолжительности     рабочего дня│
  │   │ (смены) без освобождения от основной              │
  │   ├───────────────────────────────────────────────────┤
  ├──►┤ - работы, предусмотренной трудовым договором      │
  │   ├───────────────────────────────────────────────────┤
  ├──►┤ - размер доплаты и порядок ее расчета             │
  │   ├───────────────────────────────────────────────────┤
  │   │ -  указание  на  то,  что  дополнительная   работа│
  └──►┤ поручается работнику с его письменного согласия   │
      └───────────────────────────────────────────────────┘

В то же время вопрос о форме, в которой должно быть достигнуто (зафиксировано) соглашение о совмещении профессий (должностей) между сторонами, трудовое законодательство не регулирует. Те же варианты оформления, которые рекомендуют независимые специалисты, отличаются друг от друга.

На практике чаще используется такой вариант. С работником, совмещающим профессию (должность), заключают дополнительное соглашение к трудовому договору, а затем на его основании издают приказ о поручении дополнительной работы. В таком же порядке оформляют и прекращение совмещения (т.е. посредством дополнительного соглашения, на основании которого издается приказ об отмене совмещения).

Сторонники данного подхода считают заключение дополнительного соглашения к трудовому договору необходимым в связи с тем, что условие о трудовой функции («работа по должности в соответствии со штатным расписанием, профессии, специальности с указанием квалификации; конкретный вид поручаемой работнику работы») является обязательным для включения в трудовой договор*(6), а изменение определенных сторонами условий трудового договора допускается только по соглашению сторон*(7).

Аналогичной точки зрения относительно порядка оформления совмещения придерживаются и специалисты Федеральной службы по труду и занятости*(8).

Однако имеет место и противоположная точка зрения: для оформления совмещения профессий (должностей) не нужно заключать дополнительное соглашение к трудовому договору.

В каждом договоре, действительно, необходимо указывать трудовые функции работника. При этом все, что выходит за их границы, может быть расценено как дополнительная работа (ведь она выполняется работником «наряду с работой, определенной трудовым договором»). Другими словами, дополнительной (в контексте ст. 60.2 Трудового кодекса) является только такая работа, которая не предусмотрена трудовым договором с конкретным работником. Если же условие о выполнении дополнительной работы станет частью трудового договора, то досрочное прекращение совмещения в одностороннем порядке, предусмотренное частью 4 статьи 60.2 Трудового кодекса, станет невозможным, поскольку любое изменение трудового договора по общему правилу допускается только по соглашению сторон. А после подписания соглашения (которое является неотъемлемой частью договора*(9)) поручаемая работа перестанет считаться дополнительной. Отсюда делается вывод, что для оформления совмещения, а также и для его прекращения вносить изменения в трудовой договор путем заключения дополнительных соглашений к нему не требуется.

В этом варианте для оформления дополнительной работы следует подготовить два кадровых документа: приказ, в котором нужно указать вид дополнительной работы, ее содержание и объем, а также соглашение о размере доплаты за выполнение указанной работы.

По разъяснениям Роструда*(10) совмещение профессий (должностей) может устанавливаться как при поступлении на работу (в качестве трудовой функции), так и в любое время в последующем (путем заключения соглашения). Однако доплата устанавливается только в том случае, если совмещение не является частью трудовой функции работника в соответствии с трудовым договором*(11).

Таким образом, независимо от выбора варианта оформления дополнительной работы, основная трудовая функция работника, которому она поручена, не изменяется (см. также мнение на с. 34).

Заметим, что трудовым законодательством не установлено ограничений по совмещению ни в отношении каких-либо должностей (в т.ч. и должности руководителя), ни по количеству совмещаемых профессий или должностей. Объем дополнительной работы регулируется исключительно соглашением сторон, поэтому возможно совмещение более чем двух профессий (должностей).

Также выполнение дополнительной работы можно поручить любой категории работников, например совместителю.

Доплата за совмещение

Обязанность работодателя выплачивать работнику доплату за совмещение должностей предусмотрена законодательством *(12). Как уже было сказано выше, размер доплаты устанавливается по соглашению сторон трудового договора с учетом содержания и (или) объема дополнительной работы*(13). Однако отсутствие письменной формы поручения указанной работы и согласия на ее выполнение не означает, что работник не имеет права на получение соответствующего вознаграждения за свой труд. Имеются решения судов*(14), которыми было установлено взыскание с работодателя дополнительных сумм за совмещение профессий (должностей) при отсутствии соответствующего соглашения сторон в случае, если факт ее выполнения признан доказанным.

Трудовым кодексом не определен ни максимальный, ни минимальный размер доплаты, а лишь установлено, что заработная плата каждого работника зависит от его квалификации, сложности выполняемой им работы, количества и качества затраченного труда и не ограничивается максимальным размером*(15). Поэтому работодатель, устанавливая в соответствии с частью 2 статьи 151 Трудового кодекса размер доплаты за совмещение, должен исходить из этих принципов, а также учитывать, что он обязан обеспечивать работникам равную оплату за труд равной ценности*(16). В подтверждение этих выводов можно привести письма Минфина и Минздравсоцразвития России*(17), в которых, в частности, разъясняется, что трудовое законодательство не ограничивает размер доплаты за совмещение профессий (должностей).

В рассматриваемом случае доплата представляет собой один из видов выплат за выполнение работы в условиях, отклоняющихся от нормальных*(18). Учитывая положения статьи 129 Трудового кодекса, доплата за совмещение профессий — это компенсационная выплата, начисляемая работнику в составе его заработной платы. Другими словами, при совмещении должностей работнику выплачивается одна заработная плата, в состав которой входит указанная доплата. Последняя учитывается при расчете среднего заработка*(19). Поэтому если в расчетном периоде работник получал доплату за совмещение, она включается в состав среднего заработка и учитывается при расчете отпускных, пособий по временной нетрудоспособности, по беременности и родам и по уходу за ребенком.

В налоговом учете к расходам на оплату труда в целях налогообложения прибыли относятся, в частности, доплаты при совмещении профессий (должностей)*(20). Принимая во внимание положения статьи 252 Налогового кодекса, а также статей 60.2 и 151 Трудового кодекса, указанные расходы должны уменьшать облагаемую базу по налогу на прибыль организации в полном объеме независимо от размера доплаты*(21).

*(1) ч. 1 ст. 60.2 ТК РФ
*(2) ст. 151 ТК РФ
*(3) ч. 3 ст. 60.2 ТК РФ
*(4) ч. 4 ст. 60.2 ТК РФ
*(5) ч. 2 ст. 151 ТК РФ
*(6) ст. 57 ТК РФ
*(7) ст. 72 ТК РФ
*(8) письмо Роструда от 31.08.2012 N 1180-6-1
*(9) ч. 3 ст. 57, ст. 72 ТК РФ
*(10) письмо Роструда от 31.08.2012 N 1180-6-1
*(11) письмо Минздравсоцразвития России от 12.03.2012 N 22-2-897
*(12) ч. 1 ст. 151 ТК РФ
*(13) ч. 2 ст. 151 ТК РФ
*(14) см., напр., определение Московского городского суда от 12.10.2011 N 33-29565; решение Аркадакского районного суда Саратовской области от 30.03.2010 N 24
*(15) ст. 132 ТК РФ
*(16) ч. 2 ст. 22 ТК РФ
*(17) письма Минфина России от 29.10.2009 N 03-03-06/1/702, Минздравсоцразвития России от 20.04.2009 N 3830-17
*(18) ст. 149 ТК РФ
*(19) подп. «к» п. 2 положения, утв. пост. Правительства РФ от 24.12.2007 N 922
*(20) п. 3 ст. 255 НК РФ
*(21) письма Минфина России от 29.10.2009 N 03-03-06/1/702, от 26.10.2009 N 03-03-06/1/692

перестановок

Отношение перестановки дает вам количество способов, которыми вы можете выбрать r объектов или событий из коллекции n объектов или событий.

Как и все основные вероятности, отношения возникают из подсчета количества способов, которыми могут произойти определенные вещи, и сравнения этого количества с общим количеством возможностей. Если вы делаете выбор из n объектов, то при первом выборе у вас есть n вариантов. При втором выборе у вас есть n-1 вариантов, n-2 для вашего третьего выбора и так далее.Как показано выше для 5 объектов, количество способов выбора из 5 объектов равно 5! .

Обратите внимание, что ваш выбор из 5 объектов может иметь любой порядок, потому что ваш выбор каждый раз может быть любым из оставшихся объектов. Итак, мы говорим, что существует 5 факториалов = 5! = 5x4x3x2x1 = 120 способов расставить пять предметов. В общем мы говорим, что их нет! перестановки n объектов.

Теперь, если вы собираетесь выбрать подмножество r из общего количества объектов n, например, вытянуть 5 карт из колоды из 52, то процесс подсчета может подсказать вам количество различных способов сделать это.Для первого выбора у вас есть n вариантов, затем n-1 и так далее до n-r + 1 для последнего выбора. Количество способов сделать это —

, который может быть выражен в стандартной форме

Количество перестановок r объектов из n иногда является тем, что вам нужно, но у него есть недостаток, связанный с перерасчетом, если вас интересует количество способов получить различимые коллекции объектов или событий. Для карточной игры следующие способы вытягивания 3-х карт эквивалентны:

Таким образом, отношение перестановки превышает количество способов выбора этой комбинации, если вы не хотите проводить различие между ними на основе порядка, в котором они были выбраны.Коэффициент пересчета в данном случае 6 = 3 !, количество перестановок 3 объектов. Число различимых наборов r объектов, выбранных из n, получается делением отношения перестановки на r! . Обычно пишется

Это количество _n C _r называется «комбинацией» и представляет собой вероятность выбора r различимых результатов из n независимо от порядка выбора каждого результата.

Для группы из n объектов или событий, которые разбиты на k подмножеств, указанное выше отношение можно обобщить, чтобы дать количество различимых перестановок n объектов.

Здесь члены в знаменателе — это совокупности k подмножеств. Применение этого соотношения заключается в определении количества возможных энергетических состояний в распределении энергии для различимых частиц.

Перестановок и комбинаций — Перестановки идентичных объектов (Часть 2)

До сих пор у нас были одинаковые объекты только одного типа. То есть идентичными были только красные шары, а все остальные были разными.

В этом уроке будет рассмотрено еще несколько случаев, в которых используются идентичные объекты более чем одного типа.Например, 3 красных шара и 2 зеленых шара. Или 2 красных, 3 зеленых и 4 других разноцветных шара.

Предположим, мы должны расположить 5 шаров в ряд, из которых 3 красные, а 2 другие зеленые. Сколько различных аранжировок возможно?

Обозначим, как и раньше, 5 клеток, каждое из которых должно быть заполнено одним шаром.

Сначала мы поместим красные шары в любые 3 из 5 клеток. Это можно сделать ⁵ C ₃ способами. Вот один из них.

Далее в оставшиеся 2 поля мы поместим оставшиеся 2 шара.Это можно сделать только одним способом (так как оба они идентичны)

Вот и все. Общее количество аранжировок составит ⁵ C ₃ x 1 или \ (\ frac {5!} {3! 2!} \)

Мы также могли бы сначала разместить зеленые шары в порядке ⁵ C ₂ (выберите 2 из 5 клеток и поместите по одному мячу в каждую), а затем поместите красные шары в оставшиеся места. Количество аранжировок остается прежним: ⁵ C ₂ или \ (\ frac {5!} {2! 3!} \)

Теперь рассмотрим другой случай: 7 шаров, из которых 3 красные, 2 зеленые и остальные разного цвета.

Начнем с размещения красных шаров по ⁷ C ₃ направлениям.

Затем разместите зеленые по ⁴ C ₂ позициям. (Так как у нас осталось 4 коробки, из которых нужно выбрать 2)

Наконец, мы разместим оставшиеся отдельные шары. На этот раз у нас 2! пути, потому что расположение этих двух шаров имеет значение.

или

Общее количество расположений ⁷ C ₃ x ⁴ C ₂ x 2! = \ (\ frac {7!} {3! 4!} \ times \ frac {4!} {2! 2!} \ times 2! = \ frac {7!} {3! 2!} \)

Вы видите закономерность? В первом случае у нас было 5 мячей, из которых 3 красных и 2 зеленых.Количество аранжировок составило \ (\ frac {5!} {3! 2!} \)

Если бы все 5 мячей были различны, наш ответ был бы 5 !. Теперь, если 3 из них были заменены идентичными красными шарами, ответ изменился на 5! / 3 !, а если оставшиеся 2 были также заменены идентичными зелеными шарами, количество расположений изменилось на \ (\ frac {5!} { 3! 2!} \)

Во втором случае у нас было 7 шаров, из которых 3 красных, 2 зеленых и остальные разные. Количество аранжировок составило \ (\ frac {7!} {3! 2!} \)

А теперь давайте обобщим.Предположим, что имеется n объектов, из которых p объектов идентичны и имеют определенный тип (например, цвета в случае шаров), а объекты q идентичны и другого типа, а остальные различны, тогда количество расположений из этих n объектов подряд будет \ (\ frac {n!} {p! q!} \)

Кроме того, если объекты «r» также идентичны и относятся к третьему типу, то количество расположений изменится на \ (\ frac {n!} {P! Q! R!} \) И так далее.

Краткое содержание урока

1. Количество способов размещения n объектов в ряд, из которых p объектов идентичны и имеют тип 1, q другие объекты идентичны и имеют тип 2, ‘r’ другие объекты также идентичны и имеют тип 3, и остальные различны, определяется как \ (\ frac {n!} {p! q! r!} \)

На этом урок.В следующем уроке я расскажу о нескольких примерах, связанных с этой концепцией.

простых перестановок и комбинаций — лучше объяснение

Я всегда путала «перестановку» и «комбинацию» — какая из них какая?

Вот простой способ запомнить: перестановка звучит сложно , не так ли? И это. При перестановках важна каждая мелочь. Алиса, Боб и Чарли отличаются от Чарли, Боба и Алисы (вставьте сюда имена своих друзей).

довольно просты.Детали значения не имеют. Алиса, Боб и Чарли такие же, как Чарли, Боб и Алиса.

Перестановки предназначены для списков (порядок имеет значение), а комбинации — для групп (порядок не имеет значения).

Знаете, «кодовый замок» действительно следует называть «блокировкой с перестановкой». Порядок, в котором вы ставите числа, имеет значение.

Настоящий «кодовый замок» примет правильными и 10-17-23, и 23-17-10.

Перестановки: волосатые детали

Давайте начнем с перестановок, или всех возможных способов что-то сделать.Мы используем модный термин «перестановка», поэтому мы позаботимся о каждой детали, включая порядок каждого элемента. Допустим, у нас 8 человек:

  1: Алиса
2: Боб
3: Чарли
4: Дэвид
5: Ева
6: Фрэнк
7: Джордж
8: Горацио
  

Какими способами мы можем присуждать призы за 1, 2 и 3 места среди восьми участников? (Золото / Серебро / Бронза)

Мы собираемся использовать перестановки, так как порядок, в котором мы раздаем эти медали, имеет значение. Вот как он распадается:

• Золотая медаль: 8 вариантов выбора: A B C D E F G H (Я умело заставлял имена совпадать с буквами, а?).Скажем, A выигрывает золото.
• Серебряная медаль: 7 вариантов: B C D E F G H. Допустим, B выигрывает серебро.
• Бронзовая медаль: 6 вариантов: C D E F G H. Скажем,… C выигрывает бронзу.

Мы выбрали определенных людей, которые выиграют, но детали не имеют значения: сначала у нас было 8 вариантов, затем 7, затем 6. Общее количество вариантов составило 8 долларов * 7 * 6 = 336 долларов.

Давайте посмотрим на детали. Нам пришлось заказать 3 человека из 8. Для этого мы начали со всеми вариантами (8), затем забирали их по одному (7, затем 6), пока у нас не закончились медали.

Мы знаем, что факториал:

К сожалению, этого уже слишком! Нам нужно всего 8 * 7 * 6 $. Как мы можем «остановить» факториал на 5?

Вот где перестановки становятся крутыми: обратите внимание, как мы хотим избавиться от $ 5 * 4 * 3 * 2 * 1 $. Как еще это назвать? 5 факториал!

Итак, если мы сделаем 8! / 5! получаем:

А почему мы использовали цифру 5? Потому что это осталось после того, как мы выбрали 3 медали из 8. Итак, лучше написать это:

где 8! / (8-3)! это просто причудливый способ сказать «Используйте первые 3 цифры из 8!».Если у нас всего n элементов и мы хотим выбрать k в определенном порядке, мы получим:

И это причудливая формула перестановки: у вас есть n элементов и вы хотите найти количество способов, которыми можно заказать k элементов:

Комбинации, Хо!

Комбинации просты. Порядок не имеет значения. Вы можете смешать это, и это выглядит так же. Допустим, я скряга и не могу позволить себе раздельные золотые, серебряные и бронзовые медали.Фактически, я могу позволить себе только пустые консервные банки.

Сколько способов я могу подарить 3 консервные банки 8 людям?

Ну, в этом случае порядок, в котором мы отбираем людей, не имеет значения. Если я дам банку Алисе, Бобу, а затем Чарли, это то же самое, что дать Чарли, Алисе и затем Бобу. В любом случае они одинаково разочарованы.

Это вызывает интересный момент — здесь у нас есть некоторые дублирования. Алиса Боб Чарли = Чарли Боб Алиса. На мгновение давайте просто разберемся, сколькими способами мы можем переставить трех человек.

Итак, у нас есть 3 варианта для первого лица, 2 для второго и только 1 для последнего. Итак, у нас есть 3 * 2 * 1 $ способов перераспределить 3 человека.

Погодите … это немного похоже на перестановку! Ты обманул меня!

Верно. Если у вас N человек и вы хотите знать, сколько аранжировок существует для всех из них, это просто N факториал или N!

Итак, если у нас есть 3 жестяных банки, которые можно раздать, их будет 3! или 6 вариантов на каждый выбор, который мы выберем.Если мы хотим выяснить, сколько у нас комбинаций, мы просто создаем все перестановки и делим на все избыточности . В нашем случае мы получаем 336 перестановок (сверху), делим на 6 избыточностей для каждой перестановки и получаем 336/6 = 56.

Общая формула

, что означает «Найдите все способы выбрать k человек из n и разделите на k! варианты ». Записав это, мы получаем нашу формулу комбинирования , или количество способов комбинировать k элементов из набора n:

Иногда C (n, k) записывается как:

, который является биномиальным коэффициентом.

Несколько примеров

Вот несколько примеров комбинаций (порядок не имеет значения) из перестановок (порядок имеет значение).

• Комбинация: Выбор команды из 3 человек из группы из 10 человек. $ C (10,3) = 10! / (7! * 3!) = 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1) = 120 $.

  Перестановка: выбор президента, вице-президента и водяного мальчика из группы из 10 человек. $ P (10,3) = 10! / 7! = 10 * 9 * 8 = 720 $.

• Комбинация: выбор 3 десертов из 10 меню. C (10,3) = 120.

  Перестановка: перечисление 3 ваших любимых десертов по порядку из меню из 10. P (10,3) = 720.

Не запоминайте формулы, поймите, почему они работают. Комбинации звучат проще, чем перестановки, и они есть. У вас меньше комбинаций, чем перестановок.

Другие сообщения в этой серии

1. Простые перестановки и комбинации
2. Перемещение по сетке с использованием комбинаций и перестановок
3. Как понимать комбинации с помощью умножения
4. Почему мы умножаем комбинации?

Комбинации и перестановки

Расследуй! 8

У вас есть набор фишек пяти разных цветов: красный, синий, зеленый, фиолетовый и желтый.

1. Сколько разных стеков из двух фишек вы можете собрать, если нижняя фишка должна быть красной или синей? Объясните свой ответ, используя как аддитивный, так и мультипликативный принцип.

2. Сколько разных стеков из трех фишек вы можете собрать, если нижняя фишка должна быть красной или синей, а верхняя фишка — зеленой, фиолетовой или желтой? Как эта проблема соотносится с предыдущей?

3. Сколько существует различных стеков из трех фишек, в которых не повторяется ни один цвет? А как насчет четырех фишек?

4. Предположим, вы хотите взять три фишки разного цвета и положить их в карман.Сколько у вас вариантов выбора? Что, если вам нужны четыре фишки разного цвета? Как эти проблемы соотносятся с предыдущей?

Перестановка — (возможная) перестановка объектов. Например, существует 6 перестановок букв a, b, c :

Мы знаем, что у нас есть все они, перечисленные выше — есть 3 варианта выбора, какую букву мы помещаем первой, затем 2 варианта выбора, для которой буква идет следующей, что оставляет только 1 вариант для последней буквы.Принцип мультипликативности гласит, что мы умножаем \ (3 \ cdot 2 \ cdot 1 \ text {.} \)

Пример1.3.1

Сколько существует перестановок букв a, b, c, d, e, f ?

Мы НЕ хотим пытаться перечислить все это. Однако, если бы мы это сделали, нам нужно было бы сначала выбрать письмо, которое нужно записать. Есть 6 вариантов для этой буквы. Для каждого выбора первой буквы есть 5 вариантов для второй буквы (мы не можем повторить первую букву; мы переставляем буквы и получаем только по одной из каждой), и для каждого из них есть 4 варианта для третьей, 3 варианты выбора для четвертой буквы, 2 варианта для пятой и, наконец, только 1 вариант для последней буквы.Итак, есть \ (6 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 = 720 \) перестановки 6 букв.

Здесь может быть полезно обозначение: \ (n! \ Text {,} \) читать «\ (n \) факториал», является произведением всех положительных целых чисел, меньших или равных \ (n \) (по причинам для удобства мы также определяем 0! равным 1). Таким образом, количество перестановок из 6 букв, как показано в предыдущем примере, равно \ (6! = 6 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 \ text {.} \) Это обобщает:

Перестановки элементов \ (n \)

Есть \ (n! = N \ cdot (n-1) \ cdot (n-2) \ cdot \ cdots \ cdot 2 \ cdot 1 \) перестановки \ (n \) (различных) элементов.

Пример 1.3.2 Подсчет биективных функций

Сколько функций \ (f: \ {1,2, \ ldots, 8 \} \ to \ {1,2, \ ldots, 8 \} \) являются биективными ?

Вспомните, что означает биективность функции: каждый элемент в кодомене должен быть изображением ровно одного элемента домена. Используя двухстрочную запись, мы могли бы записать одну из этих биекций как

На самом деле мы просто переставляем элементы кодомена, поэтому мы создаем перестановку из 8 элементов.Фактически, «перестановка» — это еще один термин, используемый для описания биективных функций из конечного множества в себя.

Если вы в это верите, то вы видите, что ответ должен быть \ (8! = 8 \ cdot 7 \ cdot \ cdots \ cdot 1 = 40320 \ text {.} \). Это также видно напрямую: для каждого элемента домен, мы должны выбрать отдельный элемент кодомена для сопоставления. Есть 8 вариантов, куда отправить 1, затем 7 вариантов, куда отправить 2, и так далее. Мы умножаем по принципу мультипликативности.

Иногда мы не хотим переставлять все буквы / числа / элементы, которые нам даны.

Пример1.3.3

Сколько четырехбуквенных «слов» вы можете составить из букв с a по f без повторяющихся букв?

Это похоже на задачу перестановки 4 букв, только теперь у нас есть больше вариантов для каждой буквы. Для первой буквы есть 6 вариантов. Для каждой из них есть 5 вариантов для второй буквы. Затем есть 4 варианта для третьей буквы и 3 варианта для последней буквы. Общее количество слов равно \ (6 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 = 360 \ text {.} \) Это не \ (6! \), Потому что мы никогда не умножали на 2 и 1. Мы могли бы начать с \ (6! \), А затем сократить 2 и 1 и, таким образом, написать \ (\ frac {6!} {2!} \ Text {.} \)

В общем, мы можем спросить, сколько существует перестановок \ (k \) объектов, выбирающих эти объекты из большей коллекции \ (n \) объектов. (В приведенном выше примере \ (k = 4 \ text {,} \) и \ (n = 6 \ text {.} \)) Мы пишем это число \ (P (n, k) \) и иногда называем его a \ (k \) — перестановка \ (n \) элементов . Из приведенного выше примера мы видим, что для вычисления \ (P (n, k) \) мы должны применить мультипликативный принцип к числам \ (k \), начиная с \ (n \) и считая в обратном порядке.Например

Еще раз обратите внимание, что \ (P (10,4) \) вначале выглядит как \ (10! \ Text {,} \), но мы останавливаемся после 7. Мы можем формально учесть эту «остановку», разделив часть факториал, который нам не нужен:

Внимание! Факториал в знаменателе равен не \ (4! \), А скорее \ ((10-4)! \ Text {.} \)

\ (k \) — перестановки \ (n \) элементов

\ (P (n, k) \) — количество \ (k \) — перестановок \ (n \) элементов , количество способов расположить \ (k \) объектов, выбранных из \ ( п \) различные объекты.

Обратите внимание, что когда \ (n = k \ text {,} \) мы имеем \ (P (n, n) = \ frac {n!} {(Nn)!} = N! \) (Поскольку мы определили \ ( 0! \) Равным 1). Это имеет смысл — мы уже знаем, что \ (n! \) Дает количество перестановок всех \ (n \) объектов.

Пример 1.3.4 Подсчет инъективных функций

Сколько функций \ (f: \ {1,2,3 \} \ to \ {1,2,3,4,5,6,7,8 \} \) являются инъективными ?

Обратите внимание, что здесь нет смысла запрашивать количество биекций , так как их нет (поскольку кодомен больше домена, нет никаких сомнений). Но для того, чтобы функция была инъективной, мы просто не можем использовать элемент кодомена более одного раза.

Нам нужно выбрать элемент из кодомена, который будет изображением 1.Есть 8 вариантов. Затем нам нужно выбрать один из оставшихся 7 элементов, который будет изображением 2. Наконец, один из оставшихся 6 элементов должен быть изображением 3. Таким образом, общее количество функций равно \ (8 \ cdot 7 \ cdot 6 = П (8,3) \ text {.} \)

В целом это демонстрирует то, что количество инъекций \ (f: A \ to B \ text {,} \), где \ (\ card {A} = k \) и \ (\ card {B} = n \ текст {,} \) равен \ (P (n, k) \ text {.} \)

Вот еще один способ найти количество \ (k \) — перестановок элементов \ (n \): сначала выберите, какие элементы \ (k \) будут в перестановке, затем посчитайте, сколько способов их расположить .После того, как вы выбрали \ (k \) объекты, мы знаем, что есть \ (k! \) Способов их упорядочить (переставить). Но как выбрать \ (k \) объекты из \ (n \ text {?} \). У вас есть \ (n \) объектов, и вам нужно выбрать \ (k \) из них. Вы можете сделать это \ ({n \ выбрать k} \) способами. Затем для каждого выбора из этих \ (k \) элементов мы можем переставить из \ (k! \) Способами. Используя мультипликативный принцип, мы получаем другую формулу для \ (P (n, k) \ text {:} \)

Теперь, поскольку у нас уже есть замкнутая формула для \ (P (n, k) \), мы можем заменить ее в:

Если мы разделим обе части на \ (k! \), Мы получим замкнутую формулу для \ ({n \ choose k} \ text {.} \)

Замкнутая формула для \ ({n \ choose k} \)

Мы говорим, что \ (P (n, k) \) подсчитывает перестановок , а \ ({n \ choose k} \) подсчитывает комбинаций .Формулы для каждого очень похожи, есть только лишний \ (k! \) В знаменателе \ ({n \ choose k} \ text {.} \). Этот дополнительный \ (k! \) Объясняет факт что \ ({n \ choose k} \) не делает различий между разными порядками, в которых могут появляться объекты \ (k \). Мы просто выбираем (или выбираем) объекты \ (k \), а не упорядочиваем их. Возможно, термин «комбинация» вводит в заблуждение. Мы не имеем в виду, что это кодовый замок (где порядок определенно имеет значение). Возможно, лучшая метафора — это сочетание вкусов: вам просто нужно решить, какие ароматы сочетать, а не порядок, в котором их объединять.

Чтобы проиллюстрировать связь между комбинациями и перестановками, мы закончим примером.

Пример1.3.5

Вы решили устроить званый обед. Несмотря на то, что вы невероятно популярны и имеете 14 разных друзей, у вас достаточно стульев, чтобы пригласить 6 из них.

1. Сколько у вас есть вариантов, для каких 6 друзей пригласить?

2. Что делать, если вам нужно решить не только, каких друзей пригласить, но и где их усадить за длинным столом? Сколько у вас тогда вариантов?

1. Вы должны просто выбрать 6 друзей из группы из 14 человек.Это можно сделать \ ({14 \ choose 6} \) способами. Мы можем найти это число, используя треугольник Паскаля или замкнутую формулу: \ (\ frac {14!} {8! \ Cdot 6!} = 3003 \ text {.} \)

2. Здесь вы должны сосчитать все способы, которыми вы можете переставить 6 друзей, выбранных из группы из 14. Итак, ответ будет \ (P (14, 6) \ text {,} \), который можно вычислить как \ (\ frac {14 !} {8!} = 2192190 \ text {.} \)

   Обратите внимание, что мы можем думать об этой проблеме подсчета как о вопросе о функциях подсчета: сколько инъективных функций имеется от вашего набора из 6 стульев до вашего набора из 14 друзей (функции являются инъективными, потому что у вас не может быть ни одного стула). двум вашим друзьям).

Как связаны эти числа? Обратите внимание, что \ (P (14,6) \) на намного больше на , чем \ ({14 \ choose 6} \ text {.} \). Это имеет смысл. \ ({14 \ choose 6} \) выбирает 6 друзей, но \ (P (14,6) \) размещает 6 друзей, а также выбирает их. Фактически, мы можем точно сказать, насколько больше \ (P (14,6) \). В обеих задачах на счет мы выбираем 6 друзей из 14. Для первого мы останавливаемся на 3003 путях. Но для второй задачи подсчета каждый из этих 3003 вариантов выбора 6 друзей может быть расположен ровно \ (6! \) Способами.Итак, теперь у нас есть выбор \ (3003 \ cdot 6! \), И это точно \ (2192190 \ text {.} \)

Или взгляните на первую проблему с другой стороны. Мы хотим выбрать 6 друзей из 14, но нас не волнует порядок их выбора. Чтобы выбрать 6 друзей из 14, мы можем попробовать следующее:

Это разумное предположение, поскольку у нас есть 14 вариантов для первого гостя, затем 13 для второго и так далее. Но предположение неверно (на самом деле этот продукт равен \ (2192190 = P (14,6) \)).Он различает разные заказы, в которых мы могли приглашать гостей. Чтобы исправить это, мы можем разделить на количество различных расстановок 6 гостей (чтобы все они засчитывались как один результат). Существует ровно \ (6! \) Способов разместить 6 гостей, поэтому правильный ответ на первый вопрос —

Обратите внимание, что это можно записать по-другому:

— это то, что у нас было изначально.

Подраздел Упражнения

1

Пиццерия предлагает 10 начинок.

1. Сколько пицц с 3 начинками они могли бы добавить в свое меню? Предположим, двойная начинка недопустима.

2. Сколько всего пицц можно приготовить, при этом разрешено от нуля до десяти начинок (но не двойных начинок)?

3. Пиццерия перечислит 10 начинок в двух столбцах одинакового размера в своем меню.{10} = 1024 \) пиццы. Скажите «да» или «нет» каждой начинке.

4. \ (P (10,5) = 30240 \) путей. Назначьте каждое из 5 мест в левом столбце уникальной начинке для пиццы.

2

Кодовый замок состоит из циферблата с 40 цифрами. Чтобы открыть замок, вы поворачиваете циферблат вправо, пока не дойдете до первого числа, затем влево, пока не дойдете до второго числа, затем снова вправо до третьего числа. Цифры должны быть разными. Сколько возможных комбинаций?

Несмотря на название, мы не ищем здесь комбинации.3 \)).

3

Используя цифры от 2 до 8, найдите количество различных 5-значных чисел, таких как:

1. Цифры можно использовать более одного раза.

2. Цифры не могут повторяться, но могут идти в любом порядке.

3. Цифры не могут повторяться и должны быть записаны в возрастающем порядке.

4. Какой из приведенных выше вопросов подсчета является комбинацией, а какой — перестановкой? Объясните, почему это имеет смысл.

4

Сколько там треугольников с вершинами из точек, показанных ниже? Обратите внимание: мы не разрешаем вырожденные треугольники — те, у которых все три вершины находятся на одной прямой, но мы разрешаем использование неправильных треугольников. Объясните, почему ваш ответ правильный.

Вам нужны ровно две точки на оси \ (x \) — или \ (y \) -, но не переоценивайте правые треугольники.

5

Сколько четырехугольников вы можете нарисовать, используя точки, расположенные ниже, в качестве вершин (углов)?

\ ({7 \ choose 2} {7 \ choose 2} = 441 \) четырехугольников.Мы должны выбрать две из семи точек из верхнего ряда и две из семи точек в нижнем ряду. Однако не имеет значения, какой из двух (в каждой строке) мы выберем первым, потому что после выбора этих четырех точек остается ровно один четырехугольник, который они определяют.

6

Сколько четырехугольников в предыдущей задаче может быть:

1. Квадраты?

2. Прямоугольники?

3. Параллелограммы?

4. Трапеции?

5. Трапеции, которые не являются параллелограммами?

1. 5 кв.Вам нужно пропустить ровно одну точку сверху и снизу, чтобы стороны были равны. Как только вы выберете точку наверху, будут определены другие три точки.

2. \ ({7 \ choose 2} \) прямоугольников. Как только вы выберете две верхние точки, будут определены две нижние.

3. Это сложно, так как вам нужно беспокоиться о нехватке места. Один из способов посчитать: разбить дела по расположению верхнего левого угла. Вы получите \ ({7 \ choose 2} + ({7 \ choose 2} -1) + ({7 \ choose 2} — 3) + ({7 \ choose 2} — 6) + ({7 \ choose 2 } — 10) + ({7 \ choose 2} — 15) = 91 \) параллелограмм.

4. Все

5. \ ({7 \ choose 2} {7 \ choose 2} — \ left [{7 \ choose 2} + ({7 \ choose 2} -1) + ({7 \ choose 2} — 3) + ( {7 \ choose 2} — 6) + ({7 \ choose 2} — 10) + ({7 \ choose 2} — 15) \ right] \ text {.} \) Все, кроме параллелограммов.

7

анаграмма слова — это просто перестановка его букв. Сколько существует различных анаграмм «не защищенных авторским правом»? (Это самое длинное распространенное английское слово без повторяющихся букв.)

8

Сколько существует анаграмм слова «оценивает», начинающихся с буквы «а»?

После первой буквы (а) мы должны переставить оставшиеся 7 букв. Здесь всего две буквы (s и e), так что на самом деле это просто вопрос в виде битовой строки (подумайте о s как о 1 и e как о 0). Таким образом, существуют \ ({7 \ choose 2} = 21 \) анаграммы, начинающиеся с «a».

9

Сколько существует анаграмм у «анаграмм»?

10

В деловой поездке ваша компания из 20 бизнесменов и деловых женщин играет в гольф.

1. Вам нужно разделиться на четверки (группы по 4 человека): первая четверка, вторая четверка и так далее. Сколько способов это сделать?

2. После всей вашей тяжелой работы вы понимаете, что на самом деле вы хотите, чтобы в каждую четверку входил один из пяти членов Совета. Сколько способов это сделать?

1. \ ({20 \ choose 4} {16 \ choose 4} {12 \ choose 4} {8 \ choose 4} {4 \ choose 4} \) способов. Выберите 4 из 20 человек, которые войдут в первую четверку, затем 4 из оставшихся 16 человек для второй четверки и так далее (используйте принцип умножения для объединения).
2. \ (5! {15 \ choose 3} {12 \ choose 3} {9 \ choose 3} {6 \ choose 3} {3 \ choose 3} \) способов. Сначала определите время игры 5 членов совета директоров, затем выберите 3 из 15 не членов совета директоров для игры в гольф с первым членом совета директоров, затем 3 из оставшихся 12 для игры в гольф со вторым и так далее.

11

Сколько различных вариантов рассадки возможно для короля Артура и его 9 рыцарей за круглым столом?

\ (9! \) (За столом сидят 10 человек, но не имеет значения, где сидит король Артур, только тот, кто сидит слева от него, два места слева и т. Д.).{10} \) функции. Есть 17 вариантов изображения каждого элемента в домене.

13

Рассмотрим функции \ (f: \ {1,2,3,4 \} \ to \ {1,2,3,4,5,6 \} \ text {.} \)

1. Сколько всего функций?

2. Сколько функций являются инъективными?

3. Сколько инъективных функций увеличивают ? Быть увеличивающимся означает, что если \ (a \ lt b \), то \ (f (a) \ lt f (b) \ text {,} \), или, другими словами, выходы становятся больше по мере увеличения входов.

14

Мы видели, что формула для \ (P (n, k) \) имеет вид \ (\ dfrac {n!} {(Nk)!} \ Text {.} \) Здесь ваша задача — объяснить , почему это это правильная формула.

1. Предположим, у вас есть 12 фишек, каждая разного цвета. Сколько разных стопок по 5 фишек вы можете собрать? Объясните свой ответ и почему он такой же, как при использовании формулы для \ (P (12,5) \ text {.} \)

2. Если снова использовать сценарий с 12 фишками, что означает \ (12! \)? Что значит \ (7! \)? Объяснять.

3. Объясните, почему имеет смысл разделить \ (12! \) На \ (7! \) При вычислении \ (P (12,5) \) (в единицах микросхем).

4. Работает ли ваше объяснение для чисел, отличных от 12 и 5? Объясните формулу \ (P (n, k) = \ frac {n!} {(N-k)!} \), Используя переменные \ (n \) и \ (k \ text {.} \)

Больше перестановок и комбинаций

• Вопрос перестановки и комбинирования, который мы уже сделали, в основном касается выбора объектов.
  • У вас есть \ (n \) объектов, выберите \ (r \) из них. Сколько способов, если порядок имеет / не имеет значения?
  • Ответы: \ (P (n, r) \) и \ (C (n, r) \).
  • … и мы нашли проблемы там, где они были полезны, но не были очевидны. (например, сколько битовых строк содержит \ (r \)?)
• Чего-то особенного не хватало: возможности выбора с повторением.
• Пример: Сколько различных значений можно представить с помощью 5 десятичных цифр?
  • Здесь мы выбираем элементы (цифры), для которых разрешено повторение: мы можем выбрать 4 раза, если захотим.r \) different \ (r \) — перестановки \ (n \) элементов с повторением.
  • Доказательство: правило произведения применялось \ (r \) раз.

• У нас также может быть \ (r \) — комбинация \ (n \) элементов с повторением.
  • То же, что и другие комбинации: порядок не имеет значения.
  • То же, что и перестановки с повторением: мы можем выбрать одно и то же несколько раз.
• Пример: Вы заходите в кондитерскую, и у вас достаточно денег на 6 конфет.В магазине есть шоколад (C), мармеладки (G) и мармеладки Haribo без сахара, которые ужасны (H). Сколько разных вариантов выбора вы можете сделать?
  • Вот несколько возможных вариантов выбора:

     C C C G G H
    C G G G G H
    C C C C G G
    В В В В В В 

  • Поскольку порядок не имеет значения, мы перечислим все наши выборы в том же порядке: C, затем G, затем H.
  • Мы не хотим, чтобы наши конфеты смешивались: давайте разделим типы.

     C C C | G G | ЧАС
    C | G G G G | ЧАС
    C C C C | G G |
    | | В В В В В В 

  • Теперь нам не нужны настоящие личности на диаграмме, чтобы знать, что там:

     - - - | - - | -
    - | - - - - | -
    - - - - | - - |
    | | - - - - - - 

  • Теперь ответ становится очевидным: у нас там 8 слотов, и остается только решить, где поставить два разделителя.
  • Есть \ (C (8,2) \) способов сделать это, поэтому \ (C (8,2) = 28 \) возможных вариантов выбора.
  • … или, что эквивалентно, существует \ (C (8,6) = 28 \) способов разместить выбор конфет.
• Если мы выбираем \ (r \) — комбинацию из \ (n \) элементов с повторением, будет \ (C (n + r-1, r) = C (n + r-1, n-1) \) способы сделать это.
  • Доказательство: как с конфетой, но не только для \ (r = 6 \) и \ (n = 3 \).
• Пример: Сколько решений у этого уравнения в целых неотрицательных числах? \ [a + b + c = 100 \]
  • Чтобы удовлетворить уравнению, мы должны выбрать 100 «единиц», некоторые из которых будут способствовать \ (a \), некоторые — \ (b \), некоторые — \ (c \). r \) Нет (комбинация) Да \ (C (n + r-1, r) = \ frac {(n + r-1)!} {R! (N-1)!} \)
  • Есть много проблем, подобных основным задачам комбинирования / перестановки.
    • Основной подход: как сделать так, чтобы это выглядело как проблема, которую вы знаете, как решить? Когда вы это сделаете, на сколько вы пере- / занижены?
  • Пример: Сколько существует способов переставить буквы в слове \ (\ mathrm {HAPPY} \)?
    • Было бы \ (5! \) Способов переставить \ (\ mathrm {HAPQY} \), поскольку все буквы разные.
    • Что делать с повторяющейся буквой Р? Представим, что они разные: \ (\ mathrm {HAP_1P_2Y} \).
    • Теперь есть \ (5! \) Способов, но мы посчитали оба из них, но в исходной задаче они должны учитываться только один раз: \ [\ mathrm {P_1AHP_2Y} \\\ mathrm {P_2AHP_1Y} \]
    • Фактически, мы посчитали каждую перестановку дважды: с каждым возможным порядком расположения Ps.
    • Реальное решение: \ (5! / 2! = 60 \).
  • Пример (снова): Сколько существует способов переставить буквы в слове \ (\ mathrm {HAPPY} \)?
    • Давайте сначала решим, куда поместить Ps, \ (C (5,2) \) способами.
    • Затем в оставшихся 3 позициях переставьте оставшиеся 3 элемента.
    • Окончательный ответ: \ [C (5,2) \ cdot P (3,3) = \ frac {5!} {2! 3!} \ Frac {3!} {0!} = 5! / 2! \,. \]
  • Теорема: Есть \ (n! / K! \) Способов переставить \ (n \) объекты, где \ (k \) идентичны (но другие \ (n-k \) разные).

    Идея доказательства: Точно так же, как в предыдущем примере, с \ (n = 5 \) и \ (k = 2 \). [Второе решение — гораздо большее доказательство. Первое — это слишком небрежно, чтобы быть «доказательством», но это хороший способ подумать об этом.]

  • Теорема: Предположим, у нас есть \ (n \) элементов, где есть \ (n_1, n_2, \ ldots, n_k \), которые идентичны. Количество способов их перестановки составляет \ [\ frac {n!} {n_1! n_2! \ cdots n_k!} \,. \] Мы потребуем, чтобы \ (\ sum n_i = n \) для доказательства, но, очевидно, нам действительно не нужно подсчитывать единственные в своем роде элементы, чтобы получить правильный ответ, поскольку \ (1! = 1 \) .

    Проба: Как и раньше, сначала выберите позиции для \ (n_1 \) идентичных элементов \ (C (n, n_1) \) способами. Затем поместите элементы \ (n_2 \) в \ (C (n-n_1, n_2) \) способами и так далее.Общее количество способов расставить предметы — \ [\ begin {align *} & \ mbox {} C (n, n_1) C (n-n_1, n_2) C (n-n_1-n_2, n_3) \ cdots C (n-n_1- \ cdots -n_ {k-1}, n_k) \ \ & = \ tfrac {n!} {n_1! (n-n_1)!} \ tfrac {(n-n_1)!} {n_2! (n-n_1-n_2)!} \ tfrac {(n-n_1-n_2) !} {n_3! (n-n_1-n_2-n_3)!} \ cdots \ tfrac {(n-n_1- \ cdots -n_ {k-1})} {n_k! 0!} \\ & = \ frac {n!} {n_1! n_2! \ cdots n_k!} \,. \ quad∎ \ конец {выравнивание *} \]

  • Пример: В карточной игре с одной колодой (без джокеров) имеется \ (52! \ Приблизительно 8.{51} \) протоны + нейтроны, составляющие массу Земли.]
• Пример: Сколько способов упорядочить буквы в \ (\ mathrm {MISSISSIPPI} \)?
  • Есть 11 букв, но четыре Ис, четыре СС, две Пс.
  • Есть \ (\ frac {11!} {4! 4! 2!} = 34650 \) способами.

1. Ваша свекровь покупает 1000 маленьких подарков, чтобы подарить их родственникам на Рождество по непонятным вам причинам. Каждая из 1000 вещей отличается, потому что она слишком много времени проводит за покупками.Есть 25 родственников, которым можно подарить подарки. Сколько существует способов раздавать дары?
   • Примечание: вопрос допускает возможность того, что один человек получит 1000 вещей, а все остальные ничего не получат. В этой семье нет справедливости
2. В приведенном выше сценарии, сколькими способами можно распределить подарки, чтобы каждый получил 40 предметов?
3. В следующем году вас отправят в подвал, чтобы разложить 1000 подарков в 25 стопок, по одной на каждого человека.Вы не знаете, кто получит каждую стопку, поэтому порядок стопок не имеет значения. Из скольких аранжировок вы можете выбрать?
4. В следующем году ваша свекровь купит 1000 одинаковых ручек и подарит их семье. Вы начинаете задаваться вопросом, что происходит. Сколькими способами их можно раздать 25 членам семьи?
5. Сколько способов, если каждому человеку нужно получить хотя бы 3 ручки?
6. Сколько способов, если каждому человеку достанется 40 ручек?

1. Это перестановка с повторением.{1369} \,. \]

2. Это на удивление сложно. См. Обсуждение в учебнике «различимых объектов и неразличимых ящиков» на стр. 337, или найдите Числа Стирлинга второго типа .
3. Чтобы раздать дары, мы должны выбрать людей, которые получат каждый из них. Порядок здесь не имеет значения, поскольку ручки идентичны. Это комбинация с проблемой повторения: комбинации из 1000 25 членов семьи с повторением. Итак, есть \ (C (1024,25) \) способов распространения.
4. Попытка №1: Подсчитайте все \ (C (1024,25) \) способы раздачи перьев, затем вычтите число, когда кто-то получит 2 или меньше перьев. Сколько их там? Эмммм…

   Попытка №2: Сначала раздайте всем по три ручки, используя 75 из них. Затем распределите оставшиеся 925 \ (C (949,25) \) способами.

5. Один способ: дать каждому по 40 ручек.

• Иногда бывает полезно фактически сгенерировать все перестановки / комбинации, а не просто подсчитать их.
  • e.грамм. вы хотите написать код для поиска химической завивки / расчески, удовлетворяющей некоторым условиям.
  • например вы хотите написать автоматизированный тест для кода, который должен уметь обрабатывать ввод в любом порядке.
• Сначала мы должны решить, как упорядочить перестановки. Затем мы можем сгенерировать их в указанном порядке и убедиться, что мы их все нашли.
• Закажем их по лексикографическому порядку .
  • … что является причудливым способом сказать «порядок словаря».
• Мы скажем, что перестановка \ (a_1a_2 \ ldots a_n \) меньше, чем \ (b_1b_2 \ ldots b_n \), если либо :
  • \ (a_1 \) меньше \ (b_1 \).
  • \ (a_1 = b_1 \) и \ (a_2 \ ldots a_n \) меньше \ (b_2 \ ldots b_n \).
• И очевидно:
  • Две перестановки равны, если все элементы одинаковы.
  • Перестановка \ (A \) больше, чем \ (B \), если \ (B \) меньше \ (A \).
• Например, если мы переставляем буквы \ (ABCDE \), то перестановка \ (ABDEC \) меньше, чем \ (ABEDC \).
• В сторону: лексикографический порядок встречается в странных местах. Иногда вам просто нужно знать, что некоторые объекты можно заказать, чтобы сработало доказательство / алгоритм. Часто вы можете просто сказать «лексикографический порядок», и все готово.
• Следующий алгоритм сгенерирует все перестановки элементов набора в лексикографическом порядке:

   процедура all_permutations (S)
      если длина (S) == 1
          вернуть элемент как перестановку длины один
      еще
          all_perm = []
          для каждого x в S.in_sorted_order
              S1 = S - {x}
              для каждого P во all_permutations (S1)
                  all_perm + = [x] + P
          вернуть all_perm 

• Вероятно, проще всего увидеть, как это работает, если развернуть рекурсию на несколько шагов.
  • Для одноэлементного набора {1} он возвращает этот элемент в его единственном порядке: [1]
  • Для двухэлементного набора {1,2} он повторяется…
    • При x = 1 на {2} получаем один результат для all_perm: [1,2].
    • При x = 2 на {1} получаем один результат для all_perm: [2,1].
  • Для трехэлементного набора {1,2,3} он повторяется…
    • Если x = 1 на {2,3}, получаем [1,2,3] и [1,3,2].
    • При x = 2 на {1,3}, получаем [2,1,3] и [2,3,1].
    • При x = 3 на {1,2} получаем [3,1,2] и [3,2,1].
• Можете ли вы убедить себя, что это приводит к \ (n! \) Перестановкам? Достаточно легко доказать по индукции.
• Чтобы сгенерировать все комбинации набора, мы делаем следующее наблюдение: возьмем частный элемент \ (x \ in S \).Комбинация \ (S \)…
  • Все комбинации \ (S — \ {x \} \).
  • Все комбинации \ (S — \ {x \} \) с добавлением \ (x \).
• Следующий алгоритм сгенерирует все комбинации элементов набора:

   процедура all_combinations (S)
      если длина (S) == 0
          возвращение {}
      еще
          all_comb = {}
          x = некоторый элемент S
          Sx = S- {x}
          для каждого C во всех_комбинации (Sx)
              all_comb + = C
              all_comb + = {x} ∪ C
          вернуть all_comb 

• Для набора {1,2,3} этот алгоритм выполняет…
  • все_комбинации ({2,3})
  • all_combinations ({3})
  • all_combinations ({}), который возвращает {}
  • all_combinations ({3}) возвращает {{}, {3}}
  • all_combinations ({2,3}) возвращает {{}, {2}, {3}, {2,3}}
  • all_combinations ({1,2,3}) возвращает {{}, {1}, {2}, {1,2}, {3}, {1,3}, {2,3}, {1,2 , 3}}
• Можете ли вы убедить себя, что это генерирует \ (2 ^ n \) комбинаций? Достаточно легко доказать по индукции.
• Пример рекурсии, упрощающей задачу: сравните нерекурсивные алгоритмы текста, чтобы сделать эти вещи. Что более понятно? Как вы думаете, какой из них правильный?
  • На самом деле алгоритмы текста генерируют следующую перманентную / гребенку и должны быть повторены, чтобы сгенерировать все из них.
  • Мне приходилось делать это ноль раз в жизни. Мне пришлось создать их все.

Вернуться на главную страницу заметок к курсу. Авторские права © 2013, Грег Бейкер.

У меня 4 числа, и я хочу найти все возможные комбинации.

Привет, Кэндис.

Назовем четыре числа a, b, c и d.

{a, b} — одна комбинация, а {a, b, c, d} — другая. Мы могли бы перечислить их все, но давайте подойдем к этому более систематично.

У нас есть четыре исходных числа, поэтому любая комбинация Q может содержать от 0 до 4 таких чисел.

Сколько существует способов выбрать ноль элементов из группы из четырех? Только один.

Сколько существует способов выбрать один предмет из группы из четырех?
Отсчитайте их: a, b, c, d — это четыре.

Сколько существует способов выбрать два предмета из группы из четырех?
Сначала мы выбираем один (четыре варианта), затем выбираем другой (из оставшихся трех, так что это три варианта). Но если мы выберем a, а затем b, это то же самое, что выбрать b и затем a, поэтому мы разделим на два, чтобы исключить дубликаты.4×3 / 2 = 6.

А теперь давайте оглянемся на то, что мы сделали. Когда мы выбирали элементы для наших комбинаций, мы разделили группу на две части: одну, которая выбрана, и другую, которая не была выбрана. Для каждой выбранной комбинации остаток — это еще одна комбинация исходных четырех.

Итак, когда мы обнаружили, что есть только один способ выбрать ноль элементов, мы также говорим, что есть только одна комбинация со всеми четырьмя элементами (что имеет смысл).

Это также означает, что когда мы выбрали один элемент (четыре варианта), мы создали четыре различных комбинации из трех элементов.

Теперь мы знаем все комбинации и можем их сложить:
1 + 4 + 6 + 1 + 4 = 16 различных возможностей.

—-

Связанная тема с комбинациями — «перестановки». Когда порядок имеет значение, вы используете перестановки, потому что комбинации считают, что порядок не имеет значения (a, b совпадает с b, a).

Если вы хотели сказать «перестановки», тогда вы, вероятно, задаетесь вопросом «сколькими различными способами я могу расположить порядок четырех чисел?»

Ответ на этот вопрос (который вы правильно поняли) — 24.

Вот как это наблюдать:
1. Выберите одно из четырех чисел (на этом шаге есть четыре варианта).
2. Выберите одно из трех оставшихся чисел (есть три варианта).
3. Выберите одно из двух оставшихся чисел (два варианта)
4. Наклейте последнюю цифру на конец.

Вы умножаете эти варианты вместе, чтобы получить результат: 4 x 3 x 2 (x 1) = 24.

Комбинации и перестановки часто путают учащихся — они связаны, но означают разные вещи и могут привести к совершенно разным интерпретациям ситуаций и вопросов.Не помогает то, что «кодовые замки» на самом деле являются «блокировками с перестановкой», потому что порядок, безусловно, имеет значение!

Надеюсь, это поможет,
Стивен Ла Рок.

Посмотрите, сколько комбинаций чисел вы можете составить

Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производное вычисление, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех сложных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование площади, Преобразование длины, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, Equation from slopeLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Нахождение шансов, Математика, Практика многочленов, Математика, Практика основ Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторинг триномов многочленов, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они из себя представляют, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение , Правые треугольники, Ветер, Рисунок