Как высчитать коэффициент: Как вычислить коэффициент 🚩 как рассчитать коэффициенты 🚩 Математика

• Прогнозы
  • Все прогнозы
  • Прогнозы экспертов
  • По видам спорта
    • Футбол
    • Хоккей
    • Теннис
    • Баскетбол
    • Волейбол
    • Киберспорт
    • Бейсбол
    • Водное поло
    • Пляжный футбол
    • Футзал
    • Формула-1
    • Биатлон
    • Бокс
    • Единоборства
    • Гандбол
    • Другие виды
  • Экспрессы
    • Суперэкспрессы
    • На сегодня
    • На завтра
    • Популярные
  • Ближайшие 4 часа
  • На сегодня
  • На завтра
  • Железные прогнозы

Как рассчитывается районный коэффициент к зарплате в 2020 году

Коэффициенты – какие бывают, как вычислять, в чем различия?

В рамках нашего большого проекта под названием «Школа беттинга» мы предлагаем разобраться читателю с азами. Начать предлагаем с концепции вероятности, о которой и пойдет речь далее.

Как известно, сегодня вероятность принято выражать в процентном соотношении, и вы наверняка многократно сталкивались с этим даже за пределами беттинга. Рассмотрим вероятность на примере простых костей для игры в казино. Путем несложных математических вычислений можно прийти к выводу, что вероятность выпадения любого из 6 чисел на нужной нам грани достигает 1 к 6. Как следствие, шансы на выпадение любого числа одинаковые, а если посчитать в процентном соотношении, то вероятность выпадения одной из граней составляет 16,66%. Получить это достаточно просто – 100 делим на 6 (где шесть – это общее количество ожидаемых событий).

О коэффициентах

Плавно перейдем от вероятности к коэффициентам. Самым удобным, доступным, альтернативным способом обозначения вероятности исхода сегодня является десятичный коэффициент, который активно применяется беттерами по той причине, что высчитать его достаточно просто.

Таким образом, букмекеры вместо того чтобы указывать проценты (вероятность того или же иного события), укажут десятичную дробь-кожффициент, которая соответствует шансу на тот или иной исход.

Попробуем рассмотреть это на живом примере для лучшего понимания. Итак, к примеру, шансы на победу «Манчестер Юнайтед» в какой-то матче составляет, по подсчетам аналитиков, 80%. Таким образом, шансы в качестве десятичного коэффициента будут выглядеть так:

100% делим на 80% и получаем в результате 1,25.

Важный момент! Эти коэффициенты называются европейскими (альтернативное название – десятичные), наибольшей популярностью они пользуются на территории СНГ. В этом случае на каждый из поставленного 1 рубля в случае победы будет возвращено 1,25 рубля от букмекера. Ваша чистая прибыль составит 25 копеек.

Еще немного математики – для перевода в процент вероятности десятичного коэффициента потребуется данную единицу разделить на коэффициент, умножив полученное на 100%. В качестве примера – 1 делим на 2,45 и умножаем на 100%. Получаем 40,81%.

О дробных коэффициентах

Нередко букмекеры для того чтобы обозначить вероятность исхода используют дробные коэффициенты. Большой популярностью коэффициенты пользуются в Англии, других крупных странах. Нередко крупные онлайн-букмекеры демонстрируют по умолчанию подобный вид коэффициентов и это нужно иметь ввиду.

Используя предыдущий пример, десятичный кэф 1,25, если его перевести в дробное обозначение, достигнет показателя 4/16 (или 1 к 4, или 0,25 к 1). Число, которое мы получаем, разделив числитель на знаменатель и есть коэффициент, на который будет умножена ставка для того чтобы узнать чистую прибыль. В данном контексте – 0,25. Таким образом, если сделать ставку 10 долларов с кэфом 4 к 16, то в случае победы игрок получает 2,5 доллара чистой прибыли.

Достаточно много людей придерживается мнения, что десятичный коэффициент 1,25 (с ним мы разбирались выше), должен равняться дробному коэффициенту 1,25 / 1, но это в корне неверно. Помните, что дробный коэффициент нужен для того чтобы рассчитать общую сумму чистой прибыли игрока, а никак не общую сумму возврата.

Возникает следующий вопрос – как же просчитать дробный коэффициент? Все достаточно просто в данном случае знаменатель – это то количество единиц, на которое нужно вам сделать ставку для выигрыша n-го количества единиц, которые в свою очередь, указываются в числителе. Приведем простой пример на основе коэффициента 4/16. В этом случае для того чтобы выиграть 4 доллара вам нужно сделать ставку на данный коэффициент 16 у.е.

Несмотря на то, что в одной из самых консервативных стран (Англия) такое обозначение коэффициентов продолжает использоваться, сегодня от этой практике стремительно отказываются, так как десятичный коэффициент намного более удобный. Давайте вспомним еще немного из школьного курса математики и попробуем разобраться, как же перевести дробный коэффициент в десятичный?

Все достаточно просто и в качестве примера возьмем кэф 4/16. Для перевода дробного коэффициента в десятичный, потребуется наш числитель (первое число, в примере – 4) поделить на знаменатель – 16, дальше потребуется прибавить единицу. Таким образом, 4 делим на 16 и прибавляем единицу. В конечном итоге получаем 1,25.

Еще одна разновидность – коэффициенты из США

В Америке разработана собственная система коэффициентов и игрокам из Европы, а особенно из СНГ они кажутся значительно более запутанными, нежели дробными. Самый главный фактор преткновения – это, разумеется, наличие не только положительных, но и отрицательных коэффициентов, а значение этих коэффициентов не может быть меньше сотни. Таким образом, эти коэффициенты показывают, сколько же должен поставить игрок для того чтобы получить 100 долларовую прибыль. Или показывают, сколько же вы проиграете, сделав 100$ ставку.

Самое интересное и сложное – это отрицательный коэффициент. Его цель – показать, какую именно сумму должен поставить игрок для получения 100 – долларовой прибыли. Таким образом в случае, если коэффициент на команду установлен -250, клиент БК должен сделать ставку в 250 долларов для получения чистой прибыли в 100 у.е.

К счастью, перевести американский коэффициент в более привычный европейцу десятичный можно достаточно просто. Предположим, размер нашего коэффициента: -250. Требуется разделить 100 до 250 и добавить к этому единицу. Эта математическая операция даст нам кэф 1.40.

В свою очередь, положительный коэффициент показывает, какой именно выигрыш получает игрок при ставке в 100 долларов. Предположим, что коэффициент на победу какой-то команды составляет +250. Таким образом, если ваша ставка составит 100 долларов, размер выигрыша достигнет 250 долларов. Для перевода в европейские коэффициенты потребуется число 250 разделить на 100 и добавить к этому числу единицу. В итоге получаем 3.5

Как же вычислить вероятность?

Как мы описали выше, выдаваемые брокером коэффициенты отражают вероятность того или иного события, которая предполагается букмекером. Вам требуется уметь ее высчитать для того чтобы взвесить ценность той или же другой ставки. Возникает вопрос – как можно рассчитать вероятность по уже имеющемуся коэффициенту? Все достаточно просто – статично (не меняющееся) число 100 делим на коэффициент. Предположим, ваш коэффициент составляет 1.25 – таким образом, в итоге получаем 80%.

Совет игроку

Сегодня на сайтах большинства букмекеров предлагаются интерактивные формы, в которых можно выбрать разновидность отображаемых коэффициентов. Отдайте предпочтением тому коэффициенту, который вам наиболее понятен.

Как высчитать коэффициент от суммы

Процентом называют одну сотую часть.

Рассмотрим алгоритм нахождение 15% от числа 220:

• 1 Число 220 это 100%, найдем 1% от числа, для этого разделим 220 на 100:
  1% от числа равен 220 ÷ 100 = 2.2
• 2 Чтобы найти 15%, умножим значение 1% от числа на 15. 15% от числа равно 2.2 × 15 = 33.
• 3 В итоге получаем что 15% от числа 220 равно 33%.Полностью нахождения 15% от числа можно записать: 220 ÷ 100 × 15 = 2.2 × 15 = 33

Пример Вычислить 10%, 30%, 50% от числа 760.

10% от числа равно: 760 ÷ 100 × 10 = 7.6 × 10 = 76

30% от числа равно: 760 ÷ 100 × 30 = 7.6 × 30 = 228

50% от числа равно: 760 ÷ 100 × 50 = 7.6 × 50 = 380

Рассмотрим пример когда нужно вычислить общее количество предметов, если известна часть.

Пример В корзине осталось 6 яблок, 15% от общего числа, вычислите общее количество яблок.

Найдем чему равен 1% и умножим на 100:

100% от числа равно: 6 ÷ 15 × 100 = 0.4 × 100 = 40

Отношение чисел

Частное двух чисел называют отношением этих чисел.

Рассмотрим на примерах как находить отношение двух чисел.

Пример Найдем отношение чисел 4 и 20

Число 4 составляет 20% от числа 20. Для вычисления разделим 4 на 20 и умножим на 100, получим 4 ÷ 20 × 100 = 20%

Число 20 составляет 500% от числа 4. Для вычисления разделим 20 на 4 и умножим на 100, получим 20 ÷ 4 × 100 = 500%

Из числа 4 получим 20 увеличив на 400%. Для вычисления разделим 20 на 4, умножим на 100 и отнимем 100%, получим 20 ÷ 4 × 100 – 100 = 400%

Из числа 20 получим 4 уменьшив число на 80%. Для вычисления разделим 4 на 20, умножим на 100 и отнимем 100%, получим 4 ÷ 20 × 100 – 100 = -80%. Если в результате получается отрицательное значение, то число надо уменьшать, если положительно то увеличивать.

Найдем отношение двух вещественных чисел.

Пример Найдем отношение чисел 0.3 и 0.6

Число 0.3 составляет 50% от числа 0.6. Для вычисления разделим 0.3 на 0.6 и умножим на 100, получим 0.3 ÷ 0.6 × 100 = 50%

Число 0.6 составляет 200% от числа 0.3. Для вычисления разделим 0.6 на 0.3 и умножим на 100, получим 0.6 ÷ 0.3 × 100 = 200%

Из числа 0.3 получим 0.6 увеличив на 100%. Для вычисления разделим 0.6 на 0.3, умножим на 100 и отнимем 100, получим 0.6 ÷ 0.3 × 100 – 100 = 100%

Из числа 0.6 получим 0.3 уменьшив число на 50%. Для вычисления разделим 0.3 на 0.6, умножим на 100 и отнимем 100, получим 0.3 ÷ 0.6 × 100 – 100 = -50%.

Используя калькулятор процентов Вы сможете производить всевозможные расчеты с использованием процентов. Округляет результаты до нужного количества знаков после запятой

Сколько процентов составляет число X от числа Y. Какое число соответствует X процентам от числа Y. Прибавление или вычитание процентов из числа.

Калькулятор разработан специально для расчета процентов. Позволяет выполнять разнообразные расчеты при работе с процентами. Функционально состоит из 4-х разных калькуляторов. Примеры вычислений на калькуляторе процентов смотрите ниже.

Примеры вычислений на калькуляторе процентов

Какое число соответствует 23 % от числа 857 ?
Итог – 197.11
Как вычислять:
Получаем коэффициент – 857 / 100% = 8.57.
Получаем итоговое число – 8.57 x 23% = 197.11

Сколько процентов составляет 24 от числа 248 ?
Итог – 9.677 %
Как вычислять:
Получаем коэффициент – 248 / 24 = 10.333
Получаем проценты – 100% / 10.333 = 9.677 %

Прибавить 35% к числу 487 ?
Итог – 657.45
Как вычислять:
Получаем коэффициент – 487 / 100 = 4.87
Получаем число равное 35% – 4.87 x 35 = 170.45
Получаем итоговое число – 170.45 + 487 = 657.45

Вычесть 17% из числа 229 ?
Итог – 190.07
Как вычислять:
Получаем коэффициент – 229 / 100 = 2.29
Получаем число равное 17% – 2.29 x 17 = 38.93
Получаем итоговое число – 229 – 38.93 = 190.07

Процент – это одна сотая доля числа, принимаемого за целое. Проценты используются для обозначения отношения части к целому, а также для сравнения величин.

Калькулятор процентов позволяет выполнить следующие операции:

Найти процент от числа

Чтобы найти процент p от числа, нужно умножить это число на дробь p 100

Сколько процентов составляет одно число от другого

Чтобы вычислить процентное отношение чисел, нужно одно число разделить на другое и умножить на 100%.

Прибавить проценты к числу

Чтобы прибавить к числу p процентов, нужно умножить это число на (1 + p 100 )

Вычесть проценты из числа

Чтобы отнять от числа p процентов, нужно умножить это число на (1 – p 100 )

На сколько процентов одно число больше другого

Чтобы вычислить, на сколько процентов одно число больше другого, нужно первое число разделить на второе, умножить результат на 100 и вычесть 100.

На сколько процентов одно число меньше другого

Чтобы вычислить, на сколько процентов одно число меньше другого, нужно из 100 вычесть отношение первого числа ко второму, умноженное на 100.

Найти 100 процентов

Если число x это p процентов, то найти 100 процентов можно умножив число x на 100 p

Коэффициент сезонности: как рассчитать — Ольга Правук. Управление запасами: семинары, консультации

25 Фев Коэффициент сезонности: как рассчитать

В этой статье расскажу о том, как рассчитать коэффициент сезонности и о некоторых нюансах расчетов и его применения. Коэффициент сезонности чаще всего применяется при прогнозировании будущего спроса, если в продажах товаров вашей компании присутствуют сезонность в продажах.

Сезонность продаж

Сезонность продаж — это изменение спроса, связанное со сменой времён года, колебаниями температуры, праздничными датами, привычками покупателей и т.д

Практически во всех областях есть товары с сезонными продажами. Иногда встречаются компании, торгующие товарами, у которых нет сезонности или сезонность незначительная.

Для того чтобы выявить сезонность, необходимо проанализировать, как продаются товары в течение нескольких лет. Если взять данные о продажах только за один год, то колебания продаж в течение года не всегда будут означать, что у продаж есть какие-либо сезоны.

Различают три вида сезонности:

• жесткую,
• яркую,
• умеренную.

Продукты жесткой сезонности пользуются спросом очень короткий отрезок времени. Примером может быть новогодняя атрибутика – ее покупают только один раз в год и короткий период. Яркая сезонность — колебания продаж достигают 30-50%, примером служит продажа лакокрасочной продукции в апреле-мае. Умеренная сезонность — колебания в продажах не превышают 10-15%. Такие товары еще называются всесезонными.

Коэффициент сезонности

Коэффициент сезонности — это величина, на которую увеличиваются / уменьшаются продажи по сравнению со средними в определенный период времени.

Коэффициент сезонности рассчитывается на каждый месяц. Для того чтобы рассчитать коэффициент сезонности на каждый месяц необходимо взять продажи в количественном выражении по месяцам и рассчитать среднюю продажу.

Коэффициент сезонности месяца = Продажи в штуках этого месяца / на средние продажи за год

Пример расчета коэффициента сезонности

В таблице представлены продажи по товару по штукам по месяцам за три года

Расчет коэффициента сезонности

Таким образом мы получили коэффициент сезонности на каждый месяц, это и есть коэффициенты сезонности. Их сумма, то есть сумма коэффициентов за 12 месяцев, должна быть равна 12.

Есть несколько нюансов при расчёте коэффициента сезонности.

Первый, коэффициент сезонности лучше считать по группе, чем по отдельным товарам и чем больше товаров объединят это группа тем более точное значение коэффициентов сезонности. Это связано с тем что на продаже влияют не только сезонность тенденции, но и различные случайные факторы, которые не могут значительно повлиять на продажи, но они не повторяются. Из года в год для того чтобы нивелировать влияние случайных факторов на продаже одного товара лучше рассчитывать коэффициент сезонности по группе.

Второй нюанс: для того, чтобы нивелировать случайные факторы, которые повлияли на продажи в одном году даже на всю группу, необходимо рассчитывать коэффициент сезонности за несколько лет и потом выводить средний показатель за эти годы.

Рекомендуется брать минимум три года для расчета среднего коэффициента сезонности, ранее считалось что для прогнозирования и расчетов по статистике необходимо брать статистику за длительный период — чем больше тем лучше. Но с учетом того, что на статистику значительно повлияли кризисные явления в экономике 2008-2009 годов и 2014-15 годов, такой длительный период даст результаты расчетов, которые нельзя будет применить для расчетов будущего спроса.

В нашем примере это выглядит следующим образом:

И третий нюанс: для прогнозирования будущего спроса в рассчитанные коэффициенты сезонности имеет смысл добавлять экспертные корректировки. Почему? Дело в том, что коэффициент сезонности рассчитывается по статистике продаж в прошлом, на их значение могли повлиять события в прошлом, которые не повторятся в будущем, например, дефицит товара. Это достаточно распространённая ситуация, когда в компании в сезон не хватало оборотных средств для закупки товаров, в результате на складе не было товара и продаж соответственно тоже не было. В результате коэффициента сезонности не будет отражать реальное значение сезонности. Возможно в компании наблюдается эта проблема из года в год, или проблема с оборотными средствами и дефицитом товара были в прошлом году, а объем продаж в этом году значительнее по сравнению с другими предыдущими годами.

Примечание: Вы можете скачать таблицу  Excel с примером расчета. Оставьте в форме свой электронный адрес и получите таблицу с примером.

Для тех, кто хочет быстро и качественно выполнять расчет заказа поставщикам, учитывая будущие продажи, срок выполнения заказа, периодичность размещения заказа, остатки на складе, остатки в пути я подготовила практический онлайн-курс “Управление запасами: Как рассчитать заказ поставщику без дефицита и неликвидов”.

Пройдите курс и получите готовые формулы и навыки для расчета заказа поставщикам!

Онлайн-курс — это 7 занятий в формате видеоуроков по 2-2,5 часа с домашними заданиями и примерами расчетов в Excel.

Полная программа и описание курса.

Консультация по истории (5 класс) на тему: Как посчитать коэффициент результативности письменной работы учащихся

Как посчитать коэффициент результативности письменной работы учащихся в системе статград.

Подготовила материал учитель истории

 Иваний Мария Михайловна

ГБОУ СОШ №1393 г.Москва

     Многие из нас сталкиваются с проблемой при заполнении таблиц при подготовке материалов к аттестации в новом формате, на аттестацию в ГАК. Подчас от учителей требуются навыки математического анализа и не всегда администрация школ помогает при заполнении этих таблиц. Вот с такой проблемой столкнулась и я. Не получалось заполнить табличку

2.5 Результаты независимой диагностики качества освоения образовательных программ

Помимо работ МЦКО администрация школы предложила внести данные диагностических работ статград, которых каждый учитель в Москве пишет на протяжении учебного года огромное количество. Проблема возникла при заполнении коэффициента результативности.

    Ниже предлагаю материал, как это считается. Оказалось, что не сложно, просто поиск информации отнял очень много времени. Надеюсь, вам поможет информация.

Считать результативность так (по статград): все выполненные детьми задания (внизу указано за какое задание сколько детей выполнили делить на количество детей умноженное на количество заданий    и это число умножить на 100%. Например, у меня получилась результативность 76%, т.к. 300/26*15= 300/390*100%= 76%

Или (то же самое, но в виде формул):

1. Определение результативности (РЕЗ):

где: Ф – фактически выполненное учащимися количество заданий;

Д – данное учителем суммарное количество заданий.

Работа, таким образом выполнена с результатом в 78% (это высокий результат). Но мы еще не знаем, соответствует ли этот результат возможностям детей. Для этого надо определить индекс реальных учебных возможностей учащихся (их успешность). Определяем его следующими действиями.

2. Определение оценочного показателя (ОЦ):

3. Определение количественного показателя уровня работы с сильными учащимися (УСВ – полное усвоение материала):

4. Определение уровня реализации учебных возможностей (УРВ) (сравнение полученного показателя с индексом реальных возможностей учащихся):

Количественный показатель прогнозируемого результата контрольной работы в сравнении со 100-процентным результатом (то есть с максимально достижимым, когда возможности учащихся реализованы полностью): 112% – 100% = +12%.

В этой ситуации результат контрольной работы (по уровню реализации учебных возможностей школьников) превзошел прогнозируемый результат на 12%. Значит, учитель Кудинова С.И. хорошо знает учебные возможности учащихся 6 класса и работала с ними.

Показатель работы со “слабыми” учащимися (условное обозначение – НЕУСП) определяется по следующей формуле:

ЕУСП = 100% – РЕЗ = 100% – 78% = 22%.

Полученный показатель (22%) сравниваем с прогнозируемым индексом неуспешности (31%), видим, что этот показатель уменьшен (на 9%). Следовательно, со слабыми учащимися проведена работа.

В соответствии с показателями эффективности (при разнице в сторону уменьшения до 5% – уровень оптимальный, до 9% – достаточный, свыше 10% – критический) можно сделать вывод о том, что учебный процесс в этом классе протекает эффективно: оценки выставляются объективные (достоверные), работа с сильными учащимися проводится на должном уровне, учебные возможности учащихся реализуются полностью, показатели прогнозируемой неуспешности (неуспеваемости) уменьшаются.

Отражаю результаты контрольной работы в протоколе. Примерная схема (алгоритм протокола) письменного анализа контрольной работы:

Характеристика показателей

Если показатель результативности от 75% до 100% – результативность высокая; от 65% до 75% – хорошая; от 60% до 65% – достаточная; от 45% до 59% – низкая; от 35% до 44% – неудовлетворительная; от 0 до 34% – требуются экстренные меры. Итак:

Результативность деятельности учителя высокая, если показатели результативности находятся в пределах 75-100%.

Как рассчитать корреляцию

2. Образование
3. Математика
4. Статистика
5. Как вычислить корреляцию

Дебора Дж. Рамси

Может ли одна статистика измерить силу и направление линейной связи между двумя переменные? Конечно! Статистики используют коэффициент корреляции для измерения силы и направления линейной зависимости между двумя числовыми переменными X и Y .Коэффициент корреляции для выборки данных обозначен как r.

Хотя определение улиц корреляции применяется к любым двум взаимосвязанным элементам (таким как пол и политическая принадлежность), статистики используют этот термин только в контексте двух числовых переменных. Формальный термин для обозначения корреляции — это коэффициент корреляции . Было создано множество различных мер корреляции; тот, который используется в этом случае, называется коэффициентом корреляции Пирсона .

Формула корреляции ( r ):

, где n — количество пар данных;

— это выборочные средние для всех значений x и всех значений y соответственно; и s _x и s _y являются стандартными отклонениями выборки для всех значений x- и y- соответственно.

Вы можете использовать следующие шаги для вычисления корреляции, r, из набора данных:

1. Найдите среднее значение всех значений x

2. Найдите стандартное отклонение всех значений x (назовем его s _x ) и стандартное отклонение всех значений y (назовите его s _y ).

   Например, чтобы найти s _x , вы должны использовать следующее уравнение:

3. Для каждой из пар n ( x , y ) в наборе данных возьмите

4. Сложите результаты n из шага 3.

5. Разделите сумму на с _x ∗ с _y .

6. Разделите результат на n — 1, где n — количество пар ( x , y ). (Это то же самое, что умножение на 1 для n — 1.)

   Это дает вам корреляцию, r.

Например, предположим, что у вас есть набор данных (3, 2), (3, 3) и (6, 4). Чтобы вычислить коэффициент корреляции r , выполните следующие действия. (Обратите внимание, что для этих данных значения x равны 3, 3, 6, а значения y — 2, 3, 4.)

1. Вычисляя среднее значение x и y, получаем

2. Стандартные отклонения: с _x = 1,73 и с _y = 1,00.

3. n = 3 разности, найденные на шаге 2, умноженные вместе: (3-4) (2-3) = (- 1) (- 1) = +1; (3-4) (3-4) = (- 1) (0) = 0; (6-4) (4-3) = (2) (1) = +2.

4. Сложив n = 3 на шаге 3, вы получите 1 + 0 + 2 = 3.

5. Разделив на с _x * с _y , вы получите 3 / (1,73 * 1,00) = 3 / 1,73 = 1,73. (Это просто совпадение, что результат шага 5 также равен 1,73.)

6. Теперь разделите результат шага 5 на 3 — 1 (то есть 2), и вы получите корреляцию r = 0,87.

Об авторе книги

Дебора Дж.Рамси, доктор философии, , профессор статистики и специалист по статистике в области образования в Университете штата Огайо. Она является автором Статистическая рабочая тетрадь для чайников, Статистика II для чайников, и Вероятность для чайников .

Как рассчитать скорректированный коэффициент детерминации

2. Образование
3. Математика
4. Бизнес-статистика
5. Как рассчитать скорректированный коэффициент детерминации

Алан Андерсон

Вы можете использовать скорректированный коэффициент детерминации 17 чтобы определить, насколько хорошо уравнение множественной регрессии «соответствует» выборочным данным.Скорректированный коэффициент детерминации тесно связан с коэффициентом детерминации (также известным как R ² ), который вы используете для проверки результатов простого уравнения регрессии.

Скорректированный коэффициент детерминации (также известный как скорректированный R ² или

, произносится как «R bar в квадрате») — это статистическая мера, которая показывает долю отклонения , объясненного оценочной линией регрессии.

Вариация относится к сумме квадратов разностей между значениями Y и средним значением Y , выраженным математически как

Скорректированный R ² всегда принимает значение от 0 до 1. Чем ближе скорректированный R ² к 1, тем лучше оценочное уравнение регрессии соответствует или объясняет взаимосвязь между X и Y .

Ключевое различие между R ² и скорректированным R ² заключается в том, что R ² увеличивается автоматически при добавлении новых независимых переменных в уравнение регрессии (даже если они не вносят никаких новых поясняющих мощность уравнения).Следовательно, вы хотите использовать скорректированный R ² с множественным регрессионным анализом. Скорректированный R ² увеличивается только при добавлении новых независимых переменных, которые делают , увеличивают объяснительную силу уравнения регрессии, что делает его гораздо более полезным измерителем того, насколько хорошо уравнение множественной регрессии соответствует выборочным данным, чем R ² .

Следующее уравнение показывает взаимосвязь между скорректированным R ² и R ² :

Например, предположим, что отдел кадров крупной корпорации хочет определить, связаны ли зарплаты ее сотрудников с их многолетним опытом работы и уровнем их последипломного образования.Чтобы проверить эту идею, отдел кадров выбирает произвольную выборку из восьми сотрудников и записывает их годовую зарплату (измеряемую в тысячах долларов в год), годы опыта и годы обучения в аспирантуре.

На этом рисунке выделен раздел статистики регрессии из электронной таблицы Excel, основанный на этом исследовании.

Таблица, показывающая скорректированный коэффициент детерминации.

R ² находится на рисунке; он помечен как «R квадрат» и равен 0.944346527. Выборка содержит восемь наблюдений и две независимые переменные (годы опыта и годы обучения в аспирантуре). На рисунке показан скорректированный коэффициент детерминации (, скорректированный квадрат R, ) как приблизительно 0,922. Вычисляется следующим образом:

(Это равно значению на рисунке, за исключением небольшой разницы в округлении.)

Диапазон возможных значений настраиваемого коэффициента детерминации от 0 до 1; математически,

Исходя из значения скорректированного R ² , доля отклонения , объясненного оценочной линией регрессии, приблизительно равна 0.922 или 92,2 процента. Таким образом, расчетное уравнение регрессии соответствует или объясняет взаимосвязь между X и Y .

Об авторе книги

Алан Андерсон , доктор философии, преподаватель финансов, экономики, статистики и математики в университетах Фордхэм и Фэрфилд, а также в колледжах Манхэттенвилля и Покупки. Помимо академической среды, он имеет многолетний опыт работы в качестве экономиста, риск-менеджера и аналитика по фиксированным доходам.Алан получил докторскую степень по экономике в Фордхэмском университете и степень магистра наук. по финансовой инженерии Политехнического университета.

Спирмена — руководство по ее вычислению и интерпретации результатов.

Какие значения может принимать коэффициент корреляции Спирмена, r _s ?

Коэффициент корреляции Спирмена, r _s , может принимать значения от +1 до -1. r _s из +1 указывает на идеальную ассоциацию рангов, r _s из нуля указывает на отсутствие связи между рангами, а r _s из -1 указывает на совершенную отрицательную ассоциацию рангов. Чем ближе r _s к нулю, тем слабее связь между рангами.

Пример вычисления корреляции Спирмена

Чтобы вычислить ранговую корреляцию Спирмена для данных без каких-либо связей, мы будем использовать следующие данные:

Затем заполняем следующую таблицу:

Где d = разница между рангами и d ² = квадрат разницы.

Затем мы вычисляем следующее:

Затем мы подставляем это в основное уравнение с другой информацией следующим образом:

как n = 10. Следовательно, мы имеем ρ (или r _s ), равное 0,67. Это указывает на сильную положительную взаимосвязь между оценками, полученными людьми на экзамене по математике и английскому языку. То есть, чем выше ваш рейтинг по математике, тем выше ваш рейтинг и по английскому языку, и наоборот.

Как вы сообщите о корреляции Спирмена?

То, как вы сообщаете коэффициент корреляции Спирмена, зависит от того, определили ли вы статистическую значимость коэффициента.Если вы просто провели корреляцию Спирмена без каких-либо тестов статистической значимости, вы можете просто указать значение коэффициента, как показано ниже:

Однако, если вы также выполнили тесты статистической значимости, вам необходимо включить дополнительную информацию, как показано ниже:

, где df = N — 2, где N = количество попарных наблюдений.

Как вы выразите нулевую гипотезу для этого теста?

Общая форма нулевой гипотезы для корреляции Спирмена:

H ₀ : Нет [монотонной] связи между двумя переменными [в генеральной совокупности].

Помните, что вы делаете вывод из вашей выборки для генеральной совокупности, которую эта выборка должна представлять. Однако, поскольку это общее представление о выводном статистическом тесте, он часто не включается. Утверждение нулевой гипотезы для примера, использованного ранее в этом руководстве, будет:

H ₀ : Нет [монотонной] связи между математикой и английскими оценками.

Как интерпретировать статистически значимую корреляцию Спирмена?

Важно понимать, что статистическая значимость не указывает на силу корреляции Спирмена.Фактически, проверка статистической значимости корреляции Спирмена не дает вам никакой информации о силе взаимосвязи. Таким образом, достижение значения p = 0,001, например, не означает, что связь сильнее, чем если бы вы достигли значения p = 0,04. Это связано с тем, что проверка значимости исследует, можете ли вы отклонить или не отклонить нулевую гипотезу. Если вы установите α = 0,05, достижение статистически значимой корреляции рангов Спирмена означает, что вы можете быть уверены, что вероятность того, что сила найденной вами взаимосвязи (ваш коэффициент ρ), составляет менее 5% случайно, если нуль гипотеза верна.

Практическая криптография

Первым шагом в любой системе автоматического распознавания речи является извлечение признаков, то есть идентификация компонентов аудиосигнала, которые подходят для идентификации лингвистическое содержание и отбрасывание всего остального, несущего такую ​​информацию, как фоновый шум, эмоции и т. д.

Главное, что нужно понимать в отношении речи, — это то, что звуки, издаваемые человеком, фильтруются формой речевого тракта, включая язык, зубы и т. Д.Этот форма определяет, какой звук выходит. Если мы сможем точно определить форму, это должно дать нам точное представление о воспроизводимой фонеме. Форма речевого тракта проявляется в огибающей кратковременного спектра мощности, и задача MFCC — точно представить эту огибающую. Эта страница предоставит краткое руководство по MFCC.

Mel (MFCC) — это функция, широко используемая в автоматическом распознавании речи и говорящего.Они были представлены Дэвисом и Мермельштейном в 1980-х годах, и с тех пор они остаются передовыми. До появления MFCC линейное прогнозирование Коэффициенты (LPC) и кепстрал линейного предсказания Коэффициенты (LPCC) (щелкните здесь, чтобы просмотреть учебник по кепстру и LPCC) и были основным типом функции для автоматического распознавания речи (ASR), особенно с классификаторами HMM. На этой странице будут рассмотрены основные аспекты MFCC, почему они являются хорошей функцией для ASR и как их реализовать.

: краткий обзор §

Мы кратко расскажем об этапах реализации, а затем подробно рассмотрим, почему мы делаем то, что делаем. К концу пойдем в более подробное описание того, как рассчитать MFCC.

1. Сформируйте сигнал в короткие кадры.
2. Для каждого кадра вычисляют оценку периодограммы спектра мощности.
3. Примените набор фильтров mel к спектрам мощности, просуммируйте энергии в каждом фильтре.
4. Возьмите логарифм всех энергий набора фильтров.
5. Возьмите DCT энергий набора фильтров журнала.
6. Оставить DCT-коэффициенты 2-13, остальные отбросить.

Обычно делается еще несколько вещей, иногда энергия кадра добавляется к каждому вектору признаков. Дельта и дельта-дельта особенности обычно также добавляются. Подъем также обычно применяется к финальным элементам.

Почему мы это делаем? Статья

Теперь мы немного медленнее пройдемся по этапам и объясним, почему каждый из этапов необходим.

Аудиосигнал постоянно меняется, поэтому для упрощения мы предполагаем, что в коротких временных масштабах аудиосигнал не сильно меняется (когда мы говорим, что он не меняется, мы имеем в виду статистически, т.е. статистически стационарный, очевидно, что выборки постоянно меняются. даже на короткие сроки). Вот почему мы кадрируем сигнал в кадры 20-40 мс. Если кадр намного короче, у нас недостаточно выборок для получения надежной спектральной оценки, если он длиннее, сигнал слишком сильно меняется на всем протяжении рама.

Следующим шагом является вычисление спектра мощности каждого кадра. Это связано с улиткой человека (органом в ухе), которая вибрирует в разных точках в зависимости от от частоты входящих звуков. В зависимости от места в улитке, которая вибрирует (при этом колеблются маленькие волоски), разные нервы срабатывают, информируя мозг о наличии определенных частот. Наша оценка периодограммы выполняет аналогичную работу для нас, определяя, какие частоты присутствуют в кадре.

Спектральная оценка периодограммы по-прежнему содержит много информации, не необходимой для автоматического распознавания речи (ASR). В частности, улитка не может различить два близко расположенных частоты. Этот эффект становится более выраженным с увеличением частот. По этой причине мы берем группы интервалов периодограммы и суммируем их, чтобы получить представление о том, сколько энергии существует в различных частотных диапазонах. Это выполняется нашим набором фильтров Mel: первый фильтр очень узкий и показывает, сколько энергии существует около 0 Гц.Поскольку частоты становятся выше, наши фильтры становятся шире, поскольку мы меньше заботимся о вариациях. Нас интересует только приблизительное количество энергии в каждой точке. Шкала Мела говорит нам, как именно разложить наши наборы фильтров и каковы их ширины. См. Ниже, как рассчитать интервал.

Когда у нас есть энергии набора фильтров, мы их логарифмируем. Это также мотивируется человеческим слухом: мы не слышим громкость по линейной шкале. Обычно вдвое воспринимаемая громкость звука, нам нужно вложить в него в 8 раз больше энергии.Это означает, что большие колебания энергии могут не так сильно отличаться, если звук изначально громкий. Эта операция сжатия заставляет наши функции более точно соответствовать тому, что на самом деле слышат люди. Почему логарифм, а не кубический корень? Логарифм позволяет нам использовать кепстральное вычитание среднего, которое является методом нормализации канала.

Последний шаг — вычислить DCT энергий логарифмического набора фильтров. Это происходит по 2 основным причинам. Поскольку все наши наборы фильтров перекрываются, набор фильтров энергии вполне коррелируют друг с другом.DCT декоррелирует энергии, что означает, что диагональные ковариационные матрицы могут быть использованы для моделирования функций, например, в классификатор HMM. Но обратите внимание, что сохраняются только 12 из 26 коэффициентов DCT. Это связано с тем, что более высокие коэффициенты DCT представляют собой быстрые изменения энергии блока фильтров, и оказывается, что эти быстрые изменения фактически ухудшают производительность ASR, поэтому мы получаем небольшое улучшение, отбрасывая их.

Что такое шкала Мела? Статья

Шкала Mel связывает воспринимаемую частоту или высоту звука чистого тона. к его фактической измеренной частоте.Люди гораздо лучше различают небольшие изменения высоты звука на низких частотах, чем на высоких частотах. Включение этой шкалы делает наши характеристики более близкими к тому, что слышат люди.

Формула для преобразования частоты в шкалу Mel:

Чтобы вернуться с Mels обратно на частоту:

Этапы реализации §

Начнем с речевого сигнала, предположим, с частотой дискретизации 16 кГц.

1. Сформируйте сигнал в кадры по 20-40 мс.Стандартно 25 мс. Это означает, что длина кадра для сигнала 16 кГц составляет 0,025 * 16000 = 400 отсчетов. Шаг кадра обычно примерно такой 10 мс (160 отсчетов), что позволяет частично перекрывать кадры. Первые 400 кадров выборки начинаются с выборки 0, следующие 400 кадров выборки начинаются с выборки 160 и т. Д. До конца речевого файла. Если речевой файл не делится на четное количество кадров, добавьте в него нули, чтобы это произошло.

Следующие шаги применяются к каждому кадру, один набор из 12 коэффициентов MFCC извлекается для каждого кадра.Небольшое отступление от обозначений: мы называем наш сигнал во временной области. Как только он оформлен, у нас есть где n диапазонов более 1-400 (если наши кадры составляют 400 выборок) и варьируется по количеству кадров. Когда мы вычисляем комплексное ДПФ, мы получаем — где обозначает номер кадра, соответствующий кадру во временной области. — тогда спектр мощности кадра.

2. Чтобы получить дискретное преобразование Фурье кадра, выполните следующее:

, где — длинное окно анализа пробы (например,грамм. окно Хэмминга), а — длина ДПФ. В Спектральная оценка мощности на основе периодограммы для речевого кадра определяется выражением:

Это называется периодограммой оценки спектра мощности. Мы берем абсолютное значение комплексного преобразования Фурье и возводим результат в квадрат. Обычно мы выполняем 512-точечное БПФ. и оставим только первые 257 коэффициентов.

3. Вычислить набор фильтров с межмелевым интервалом. Это набор из 20-40 (26 стандартных) треугольных фильтров, которые мы применяем к спектральной оценке мощности периодограммы из шага 2.Наш банк фильтров приходит в виде 26 векторов длиной 257 (при условии, что настройки БПФ из шага 2). Каждый вектор в основном нулевой, но ненулевой для определенного участка спектра. Чтобы вычисляя энергии набора фильтров, мы умножаем каждый набор фильтров на спектр мощности, затем складываем коэффициенты. Как только это будет выполнено, у нас останется 26 чисел, которые дают нам представление о том, сколько энергии было в каждом наборе фильтров. Подробное объяснение того, как рассчитать наборы фильтров, см. Ниже.Вот сюжет, который, надеюсь, проясняет ситуацию:

4. Возьмите логарифм каждой из 26 энергий с шага 3. Это оставляет нам 26 логарифмических энергий набора фильтров.

5. Возьмите дискретное косинусное преобразование (DCT) 26 логарифмических энергий набора фильтров, чтобы получить 26 кепстральных коэффициентов. Для ASR сохраняются только нижние 12-13 из 26 коэффициентов.

Результирующие характеристики (12 номеров для каждого кадра) называются частотными кепстральными коэффициентами Mel.

Вычисление набора фильтров Mel §

В этом разделе в примере будет использоваться 10 наборов фильтров, потому что его легче отобразить, в действительности вы должны использовать 26-40 наборов фильтров.

Чтобы получить наборы фильтров, показанные на рисунке 1 (a), мы сначала должны выбрать нижнюю и верхнюю частоту. Хорошие значения — 300 Гц для нижней и 8000 Гц для верхней частоты. Конечно если речь выбирается на частоте 8000 Гц, наша верхняя частота ограничивается 4000 Гц. Затем выполните следующие действия:

1. Используя уравнение 1, преобразуйте верхнюю и нижнюю частоты в Mels.В нашем случае 300 Гц — это 401,25 Mels, а 8000 Гц — 2834,99 Mels.
2. В этом примере мы сделаем 10 наборов фильтров, для которых нам нужно 12 точек. Это означает, что нам нужно 10 дополнительных точек, линейно расположенных между 401,25 и 2834,99. Это выходит:

    м (i) = 401,25, 622,50, 843,75, 1065,00, 1286,25, 1507,50, 1728,74,
          1949,99, 2171,24, 2392,49, 2613,74, 2834,99 

3. Теперь используйте уравнение 2, чтобы преобразовать их обратно в Герцы:

    h (i) = 300, 517,33, 781.90, 1103.97, 1496.04, 1973.32, 2554.33,
          3261,62, 4122,63, 5170,76, 6446,70, 8000 

   Обратите внимание, что наши начальная и конечная точки находятся на желаемых частотах.
4. У нас нет частотного разрешения, необходимого для установки фильтров в точных точках, рассчитанных выше, поэтому нам нужно чтобы округлить эти частоты до ближайшего бина БПФ. Этот процесс не влияет на точность функций. Чтобы преобразовать частоты в числа бункеров fft, нам нужно знать размер БПФ и частоту дискретизации,

    f (i) = floor ((nfft + 1) * h (i) / частота дискретизации) 

   В результате получается следующая последовательность:

    f (i) = 9, 16, 25, 35, 47, 63, 81, 104, 132, 165, 206, 256 

   Мы можем видеть, что последний набор фильтров заканчивается в ячейке 256, что соответствует 8 кГц с размером БПФ 512 точек.
5. Теперь мы создаем наши наборы фильтров. Первый набор фильтров начнется в первой точке, достигнет своего пика во второй точке, затем вернется к нулю в третьей точке. Второй набор фильтров начнется со 2-й точки, достигнет максимума в 3-й, затем будет равен нулю в 4-й и т. Д. Формула для их расчета следующая:
   
   где — количество необходимых нам фильтров, а — список M + 2 частот с интервалом в Mel.

Окончательный график всех 10 фильтров, наложенных друг на друга:

Deltas and Delta-Deltas §

Также известен как коэффициенты дифференциала и ускорения. Вектор признаков MFCC описывает только огибающую спектра мощности одного кадра, но кажется, что речь также будет иметь информацию в динамике, то есть каковы траектории коэффициентов MFCC во времени. Оказывается Выяснилось, что вычисление траекторий MFCC и добавление их к исходному вектору признаков немного увеличивает производительность ASR (если у нас есть 12 коэффициентов MFCC, мы также получим 12 дельта-коэффициентов, которые в совокупности дадут вектор признаков длиной 24).

Для расчета дельта-коэффициентов используется следующая формула:

, где — дельта-коэффициент, от кадра, вычисленного в терминах статических коэффициентов до. Типичное значение для — 2. Коэффициенты дельта-дельта (ускорение) рассчитываются таким же образом, но они рассчитываются на основе дельт, а не статических коэффициентов.

Реализации §

Я реализовал MFCC на Python, доступный здесь. Используйте кнопку «Загрузить ZIP» в правой части страницы, чтобы получить код.Документацию можно найти в readthedocs. Если у вас есть проблемы или вопросы по поводу кода, вы можете оставить комментарий внизу этой страницы.

Здесь есть хорошая реализация MATLAB для MFCC.

Ссылки §

Дэвис, С. Мермельштейн, П. (1980) Сравнение параметрических представлений для распознавания односложных слов в непрерывно произносимых предложениях . В IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, Vol. 28 Нет.4. С. 357-366

X. Huang, A. Acero и H. Hon. Разговорная обработка: руководство по теория, алгоритмы и разработка систем . Прентис Холл, 2001.

Связанные страницы на этом сайте: §

Коэффициент корреляции

Коэффициенты корреляции измеряют силу связь между двумя переменными.Наиболее частая корреляция коэффициент, называемый Коэффициент корреляции произведение-момент Пирсона , измеряет силу линейная связь между переменными, измеренными на интервал или шкала соотношения.

Примечание: Ваш браузер не поддерживает видео в формате HTML5. Если вы просматриваете эту веб-страницу в другом браузере (е.g., последняя версия Edge, Chrome, Firefox или Opera), вы можете посмотреть видеообработку этого урока.

В этом руководстве, когда мы говорим просто о корреляции коэффициент, мы имеем в виду продукт-момент Пирсона корреляция. Как правило, коэффициент корреляции образец обозначается r , а коэффициент корреляции численность населения обозначается ρ или R .

Как интерпретировать коэффициент корреляции

Знак и абсолютная величина коэффициента корреляции Опишите направление и величину отношений между двумя переменными.

• Отрицательная корреляция означает, что если одна переменная становится больше, другая переменная имеет тенденцию к уменьшению.

Имейте в виду, что коэффициент корреляции момента произведения Пирсона только меры линейные отношения. Следовательно, корреляция 0 не среднее нулевое соотношение между двумя переменными; скорее это означает нулевое линейное соотношение . (Можно на двоих переменные должны иметь нулевую линейную связь и сильную криволинейная связь при этом.)

Диаграммы рассеяния и коэффициенты корреляции

Диаграммы рассеяния ниже показано, как разные шаблоны данных создают разную степень корреляция.

Максимальная положительная корреляция
(r = 1,0)

Сильная положительная корреляция
(r = 0,80)

Нулевая корреляция
(r = 0)

Максимальная отрицательная корреляция
(r = -1,0)

Умеренно отрицательная корреляция
(r = -0,43)

Сильная корреляция и выброс
(r = 0.71)

На диаграммах рассеяния видно несколько точек.

Как рассчитать коэффициент корреляции

Если посмотреть в разных учебниках статистики, вы, вероятно, найдете разные (но эквивалентные) формулы для вычисление коэффициента корреляции. В этом разделе мы представьте несколько формул, с которыми вы можете столкнуться.

Наиболее распространенная формула для расчета коэффициента корреляции продукт-момент (r) приведен ниже.

Соотношение продукта и момента коэффициент. Корреляция r между двумя переменными:

r = Σ (xy) / sqrt [(Σ x ² ) * (Σ y ² )]

где Σ — символ суммирования, х = х _я — х, x _i — значение x для наблюдения i, x — среднее значение x, у = у _и — у, y _i — значение y для наблюдения i, и y — среднее значение y.

В приведенной ниже формуле используются средние и стандартные отклонения генеральной совокупности. для вычисления коэффициента корреляции населения (ρ) из данных о населении.

Корреляция населения коэффициент. Корреляция ρ между двумя переменными составляет:

ρ = [1 / N] * Σ {[(X _i — μ _X ) / σ _x ]
* [(Y _i — μ _Y ) / σ _y ]}

где N — количество наблюдения в популяции, Σ — символ суммирования, X _i — значение X для наблюдения i, μ _X — среднее значение переменной X, Y _i — значение Y для наблюдения i, μ _Y — среднее значение переменной Y, σ _x — стандартное отклонение генеральной совокупности X, а σ _y — стандартное отклонение Y.

В приведенной ниже формуле используются выборочные средние и выборочные стандартные отклонения. для вычисления выборочного коэффициента корреляции (r) из выборочных данных.

Выборочная корреляция коэффициент. Корреляция r между двумя переменными:

r = [1 / (n — 1)] * Σ {[(x _i — x) / s _x ]
* [(y _i — y) / s _y ]}

где n — количество наблюдения в выборке, Σ — символ суммирования, x _i — значение x для наблюдения i, x — выборочное среднее x, y _i — значение y для наблюдения i, y — выборочное среднее y, s _x — стандартное отклонение выборки x, а s _y — стандартное отклонение y.

Интерпретация выборочного коэффициента корреляции зависит от того, как собираются образцы данных. С большим простая случайная выборка, коэффициент корреляции выборки представляет собой несмещенную оценку населения коэффициент корреляции.

Каждая из двух последних формул может быть получена из первой формулы. Используйте первую или вторую формулу, если у вас есть данные от всего населения.Используйте третью формулу, если у вас есть только выборочные данные, но вы хотите оценить соотношение в популяции. В случае сомнений используйте первую формулу.

К счастью, вам редко придется вычислять корреляцию коэффициент вручную. Многие программные пакеты (например, Excel) и большинство графических калькуляторов иметь корреляционную функцию, которая сделает всю работу за вас.

Проверьте свое понимание

Проблема 1

Национальный потребительский журнал сообщил о следующих корреляциях.

• Корреляция между массой автомобиля и надежностью автомобиля составляет -0,30.
• Взаимосвязь между массой автомобиля и годовой стоимостью обслуживания составляет 0,20.

Какие из следующих утверждений верны?

I. Более тяжелые автомобили обычно менее надежны.
II. Более тяжелые автомобили, как правило, дороже в обслуживании.
III. Вес автомобиля больше связан с надежностью, чем с стоимость технического обслуживания.

(A) только я
(B) только II
(C) только III
(D) только I и II
(E) I, II и III

Раствор

Правильный ответ (E). Соотношение веса автомобиля и надежность отрицательная. Это означает, что надежность имеет тенденцию уменьшаются по мере увеличения веса автомобиля.Соотношение между автомобилем вес и стоимость обслуживания положительны. Это означает, что обслуживание затраты имеют тенденцию к увеличению по мере увеличения веса автомобиля.

Сила взаимосвязи между двумя переменными указывается абсолютная величина коэффициента корреляции. Соотношение веса автомобиля а надежность имеет абсолютное значение 0,30. Корреляция между массой автомобиля и стоимостью обслуживания имеет абсолютное значение 0.20. Следовательно, соотношение между массой автомобиля и надежность сильнее зависимости веса автомобиля и стоимость обслуживания.

с двумя независимыми переменными Майкла Брэнника

Вопросы

Напишите уравнение регрессии необработанных баллов с двумя значениями ivs.

Какая разница в интерпретации весов b в простой регрессии vs.множественная регрессия?

Опишите R-квадрат двумя разными способами, то есть используя две различные формулы. Объясните формулы.

Что произойдет с весами b , если мы добавим в уравнение регрессии новые переменные, которые сильно коррелируют с переменными, уже включенными в уравнение?

Почему мы указываем бета-веса (стандартизованные веса b )?

Напишите уравнение регрессии с бета-весами в нем.

Какие три фактора влияют на стандартную ошибку гири b ?

Как возможно иметь значимый R-квадрат и незначительные веса b ?

Линия регрессии

С одной независимой переменной мы можем записать уравнение регрессии как:

Где Y — наблюдаемая оценка зависимой переменной, a — точка пересечения, b — наклон, X — наблюдаемая оценка независимой переменной и e — ошибка или остаток.

Мы можем расширить это до любого количества независимых переменных:

(3,1)

Обратите внимание, что у нас есть k независимых переменных и наклон для каждой. У нас все еще есть одна ошибка и один перехват. Мы снова хотим выбрать оценки a и b , чтобы минимизировать сумму квадратов ошибок прогноза. Уравнение прогноза:

(3,2)

Найти значения b (наклоны) для k> 2 независимых переменных сложно, и вам действительно нужна матричная алгебра, чтобы увидеть вычисления.Это проще для k = 2 IV, которые мы здесь обсудим. Но основные идеи остаются неизменными независимо от того, сколько у вас независимых переменных. Если вы понимаете значение наклонов с двумя независимыми переменными, у вас, вероятно, все будет хорошо, независимо от того, сколько у вас есть.

Для случая с одной переменной вычисление b и a было:

Для случая с двумя переменными:

и

На этом этапе вы должны заметить, что все члены из случая одной переменной появляются в регистре двух переменных.В случае двух переменных в уравнении также появляется другая переменная X. Например, X ₂ появляется в уравнении для b ₁ . Обратите внимание, что члены, соответствующие дисперсии обеих переменных X, встречаются в наклонах. Также обратите внимание, что член, соответствующий ковариации X1 и X2 (сумма перекрестных произведений отклонений), также появляется в формуле для наклона.

Уравнение для a с двумя независимыми переменными:

Это уравнение является прямым обобщением случая для одной независимой переменной.

Числовой пример

Предположим, мы хотим спрогнозировать эффективность работы механиков Chevy на основании результатов теста на механические способности и результатов теста на основе личностного теста, который измеряет добросовестность. (На практике нам понадобится гораздо больше людей, но я хотел уместить это на слайде PowerPoint.)

Мы можем собрать данные в такую ​​матрицу:

Числа в таблице выше соответствуют следующим суммам квадратов, перекрестных произведений и корреляций:

Теперь мы можем вычислить коэффициенты регрессии:

Чтобы найти точку перехвата, имеем:

Следовательно, наше уравнение регрессии:

Y ‘= -4.10 + .09X1 + .09X2 или

Job Perf ‘= -4.10 + .09MechApt + .09Сознательность.

Визуальные представления регрессии

У нас есть 3 переменных, поэтому у нас есть 3 диаграммы рассеяния, которые показывают их отношения.

Поскольку мы вычислили уравнение регрессии, мы также можем просмотреть график зависимости Y ‘от Y или фактического значения от прогнозируемого Y.

Мы можем (как бы) просматривать график в трехмерном пространстве, где двумя предикторами являются оси X и Y, а ось Z является критерием, таким образом:

Этот график не очень хорошо это показывает, но проблему регрессии можно рассматривать как своего рода проблему поверхности отклика.Какова ожидаемая высота (Z) при каждом значении X и Y? Пример анимации показан в самом верху этой страницы (вращающийся рисунок). Решение этой проблемы линейной регрессией в этой размерности — это плоскость. Пакет plotly в R позволит вам «захватить» трехмерный график и повернуть его с помощью компьютерной мыши. Это позволяет более четко видеть поверхность отклика. Неподвижный вид прогнозируемых результатов механиков Chevy, произведенный Plotly:

R-квадрат (R ² )

Так же, как и в простой регрессии, зависимая переменная рассматривается как линейная часть и ошибка.В множественной регрессии с линейной частью связано более одной переменной X. Когда мы запускаем множественную регрессию, мы можем вычислить долю дисперсии из-за регрессии (набор независимых переменных, рассматриваемых вместе). Эта пропорция называется R-квадрат. Мы используем заглавную R, чтобы показать, что это кратное R вместо одной переменной r . Мы также можем вычислить корреляцию между Y и Y ‘и возвести ее в квадрат. Если мы это сделаем, мы также найдем R-квадрат.

Среднее значение Y равно 3,25, как и среднее значение Y ‘. Среднее значение остатков равно 0. Дисперсия Y составляет 1,57. Дисперсия Y ‘составляет 1,05, а дисперсия остатков составляет 0,52. Вместе дисперсия регрессии (Y ‘) и дисперсия ошибки (e) в сумме составляют дисперсию Y (1,57 = 1,05 + 0,52). R-квадрат равен 1,05 / 1,57 или 0,67. Если мы вычислим корреляцию между Y и Y ‘, мы обнаружим, что R =.82, который в квадрате также является R-квадратом 0,67. (Вспомните диаграмму рассеяния Y и Y ‘). R-квадрат — это доля дисперсии Y из-за множественной регрессии.

Проверка значимости R ²

Вы уже видели это однажды, но здесь это снова в новом контексте:

, который распределяется как F ​​ с k и (N-k-1) степенями свободы, когда нулевая гипотеза (что R-квадрат равен нулю в генеральной совокупности) верна.Теперь R ² представляет собой множественную корреляцию, а не единственную корреляцию, которую мы видели в простой регрессии. В нашем последнем примере у нас есть 2 независимые переменные, R ² , равное 0,67, и 20 человек, поэтому

р <0,01. (F _{, крит.} для альфа = 0,01 составляет около 6).

Поскольку SStot = SSreg + SSres, мы можем вычислить эквивалентное F, используя суммы квадратов и соответствующую df.

, что согласуется с нашим предыдущим результатом в пределах ошибки округления.

Стандартные и нестандартные веса

С каждой переменной X будет связан один наклон или регрессионный вес. Каждый вес интерпретируется как изменение единицы измерения Y при изменении единицы измерения X, при этом остальные переменные X остаются постоянными. Если мы хотим делать точечные прогнозы (прогнозы фактического значения зависимой переменной) с учетом значений независимых переменных, это те веса, которые нам нужны. Например, если у нас есть средний балл бакалавриата и результаты SAT для человека и мы хотим спрогнозировать его средний балл первокурсника колледжа, нестандартные веса регрессии сделают свою работу.

Переменные с большими весами b должны говорить нам, что они более важны, потому что Y изменяется для одних из них быстрее, чем для других. Проблема с нестандартными или грубыми оценками весов b в этом отношении заключается в том, что они имеют разные единицы измерения и, следовательно, разные стандартные отклонения. Если бы мы измерили X = рост в футах, а не X = высоту в дюймах, вес b для футов был бы в 12 раз больше, чем b для дюймов (12 дюймов на фут; в обоих случаях мы интерпретируем b как изменение единицы в Y, когда X изменяется на 1 единицу).Поэтому, когда мы измеряем разные переменные X в разных единицах, часть размера b приписывается единицам измерения, а не важности как таковой. Итак, что мы можем сделать, так это стандартизировать все переменные (как X, так и Y, каждый X по очереди). Если мы это сделаем, тогда все переменные будут иметь стандартное значение, равное единице, и связь с переменными X будет легко очевидна по размеру весов b — все будет интерпретировано как количество стандартных отклонений. что Y изменяется, когда каждый X изменяет одно стандартное отклонение.Стандартизированные уклоны называются бета-весами. Это чрезвычайно плохой выбор слов и символов, потому что мы уже использовали бета для обозначения значения популяции b (не вините меня; это часть литературы). Вообще говоря, при множественной регрессии бета будет относиться к стандартным весам регрессии, то есть к оценкам параметров, если не указано иное.

Уравнения регрессии с бета-весами

Поскольку мы используем стандартизованные оценки, мы снова попадаем в ситуацию z-значений.Как вы помните из сравнения корреляции и регрессии:

Но бета означает вес b , когда X и Y находятся в стандартных баллах, поэтому для случая простой регрессии r = бета, и мы имеем:

Предыдущие формулы, которые я дал для b , состояли из сумм квадратов и перекрестных произведений .

Но с оценками z мы будем иметь дело со стандартизованными суммами квадратов и перекрестных произведений. Стандартизированная усредненная сумма квадратов — 1

, а стандартизированная усредненная сумма перекрестных произведений — коэффициент корреляции

В итоге мы можем оценить бета-веса с помощью корреляционной матрицы.При простой регрессии, как вы уже видели, r = beta. С двумя независимыми переменными,

и

, где r _y1 — корреляция y с X1, r _y2 — корреляция y с X2, а r ₁₂ — корреляция X1 с X2. Обратите внимание, что две формулы почти идентичны, за исключением порядка первых двух символов в числителе.

Наша корреляционная матрица выглядит так:

Обратите внимание, что существует удивительно большая разница в бета-весах, учитывая величину корреляций.

Давайте на минутку посмотрим на это, сначала на уравнение для беты ₁ . Числитель говорит, что бета ₁ — это корреляция (X ₁ и Y) минус корреляция (X ₂ и Y), умноженная на корреляцию предиктора (X ₁ и X ₂ ).Знаменатель говорит о некотором увеличении числителя в зависимости от размера корреляции между X ₁ и X ₂ . Предположим, что r ₁₂ равно нулю. Тогда r _y2 r ₁₂ равно нулю, а числитель r _y1 . Знаменатель равен 1, поэтому результатом будет r _y1 , простая корреляция между X ₁ и Y. Если корреляция между X ₁ и X ₂ равна нулю, бета-вес является простой корреляцией. С другой стороны, если корреляция между X ₁ и X ₂ равна 1.0 бета не определена, потому что мы делим на ноль. Таким образом, наша жизнь становится менее сложной, если корреляция между переменными X равна нулю.

Расчет R ²

Как я уже упоминал, один из способов вычисления R ² — вычислить корреляцию между Y и Y ‘и возвести ее в квадрат. Однако есть и другие способы расчета R ² , и они важны для концептуального понимания того, что происходит при множественной регрессии.Если независимые переменные некоррелированы, то

Это говорит о том, что R ² , доля дисперсии в зависимой переменной, учитываемая обеими независимыми переменными, равна сумме квадратов корреляций независимых переменных с Y. Это верно только в том случае, если IV ортогональны. (некоррелировано).

В нашем примере R ² составляет 0,67. Корреляции: r _y1 = 0,77 и r _y2 = 0,72. Если возвести в квадрат и сложить, мы получим.77 ² +.72 ² = 0,5929 + 0,5184 = 1,11, что явно слишком велико для R ² , которое ограничено нулем и единицей.

Если IV коррелированы, то у нас есть общий X и, возможно, общий Y, и мы должны это учитывать. Две общие формулы могут использоваться для расчета R ² , когда IV коррелированы.

Это означает умножение стандартизированного наклона (бета-вес) на корреляцию для каждой независимой переменной и сложение для расчета R ² .Это включает как корреляцию (которая будет завышать общую сумму ² рэндов из-за общего Y), так и бета-вес (который занижает оценку ² рэндов, потому что он включает только уникальный Y и дисконтирует общий Y). При правильном сочетании они дают правильный R ² . Обратите внимание, что когда r ₁₂ равно нулю, тогда beta ₁ = r _y1 и beta ₂ = r _y2 , так что (beta ₁ ) (r _y1 ) = r ² _y1 , и у нас есть более ранняя формула, где R ² — это сумма квадратов корреляций между X и Y.В нашем примере соответствующие числа (.52) .77 + (.37) .72 = .40 + .27 = 0,67, что согласуется с нашим предыдущим значением R ² .

Вторая формула, использующая только коэффициенты корреляции, —

В этой формуле говорится, что R ² — это сумма квадратов корреляций между X и Y с поправкой на общий X и общий Y. Обратите внимание, что член справа в числителе и переменная в знаменателе оба содержат r ₁₂ , что является корреляцией между X1 и X2.Обратите внимание, что это уравнение также упрощает простую сумму квадратов корреляций, когда r ₁₂ = 0, то есть когда IV ортогональны. В нашем примере

, что совпадает с нашим предыдущим значением в пределах ошибки округления.

Тесты коэффициентов регрессии

Каждый коэффициент регрессии представляет собой оценку наклона. При наличии более чем одной независимой переменной наклоны относятся к ожидаемому изменению Y, когда X меняет 1 единицу, УПРАВЛЯЯ ДРУГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ X.То есть b ₁ — это изменение Y при изменении единицы X ₁ при сохранении постоянной X ₂ , а b ₂ — это изменение Y при изменении единицы X _{. 2} при сохранении постоянной X ₁ . Мы рассмотрим это более формально после того, как введем частичную корреляцию. Мы хотели бы проверить, имеет ли наклон ( b ) какое-то значение, обычно, равен ли наклон нулю в генеральной совокупности. Для этого мы сравним значение b со стандартной ошибкой, аналогично тому, что мы сделали для теста t , где мы сравнили разницу в средних значениях со стандартной ошибкой.

Стандартная ошибка веса b для задачи с двумя переменными:

, где s ² _y.12 — дисперсия оценки (дисперсия остатков). Стандартная ошибка гири b зависит от трех факторов. Дисперсия оценки говорит нам о том, насколько далеко точки отклоняются от линии регрессии (среднего квадрата расстояния). Большие ошибки в предсказании означают большую стандартную ошибку. Сумма квадратов IV также имеет значение.Чем больше сумма квадратов (дисперсия) X, тем меньше стандартная ошибка. Ограничение диапазона не только уменьшает размер корреляции, но также увеличивает стандартную ошибку веса b . Также имеет значение корреляция между независимыми переменными. Чем больше корреляция, тем больше стандартная ошибка веса b . Итак, чтобы найти значимые веса b , мы хотим минимизировать корреляцию между предикторами, максимизировать дисперсию предикторов и свести к минимуму ошибки прогнозирования.

Учитывайте это при планировании исследования. Если вы этого не сделаете, у вас могут возникнуть проблемы с питанием для теста значимости, и ваша тяжелая работа может не окупиться. Области, в которых прогнозирование плохое, будет труднее показать отношения (очевидно, но именно отсюда возникает дисперсия остатков). Если вы выбираете людей для исследования, убедитесь, что предикторы сильно различаются. Если вы проводите исследование на добровольцах в университете с высокой степенью отбора, у вас будет ограниченный диапазон когнитивных способностей, поэтому будет сложнее показать значительный регрессионный вес для теста когнитивных способностей.Тщательно выбирайте предикторы — если они сильно коррелированы, у вас может быть значительный R-квадрат, но незначительные веса регрессии. Возможно, вы заметили, что размер выборки явно не включен в формулу. Однако сумма квадратов для независимой переменной включена, и это будет увеличивать знаменатель по мере увеличения размера выборки, тем самым уменьшая стандартную ошибку. Таким образом, больший размер выборки, как обычно, приведет к большей мощности.

Отклонение прогноза —

, а вес b — t -тест с N-k -1 степенями свободы.

В нашем примере сумма квадратов ошибок составляет 9,79, а df — 20-2-1 или 17. Следовательно, наша дисперсия оценки составляет

.575871 или .58 после округления. Наши стандартные ошибки:

и S _b2 = 0,0455, что следует из идентичных вычислений, за исключением значения суммы квадратов для X ₂ вместо X ₁ .

Чтобы проверить значимость весов b , мы вычисляем статистику t

.

В нашем случае т = 0,0864 / 0,0313 или 2,75. Если мы сравним это с t-распределением с 17 df , мы обнаружим, что оно значимо (из функции поиска мы находим, что p = 0,0137, что меньше 0,05).

Для b ₂ , мы вычисляем t = 0,0876 / 0,0455 = 1,926, что имеет значение p 0,0710, что несущественно. Обратите внимание, что корреляция r _y2 составляет 0,72, что является очень значимым ( p <.01), но b ₂ не имеет значения.

Испытания R ² по сравнению с испытаниями b

Поскольку веса b представляют собой наклоны для уникальных частей Y (то есть той части Y, которая может быть однозначно отнесена к конкретному X в уравнении регрессии), и потому что корреляции между независимыми переменными увеличивают стандартные ошибки Для гирь b можно иметь большие, значительные R ² , но в то же время иметь незначительные веса b (как в нашем примере с механикой Chevy).Также возможно найти значительный вес b без значительного R ² . Это может произойти, когда у нас есть много независимых переменных (обычно более 2), все или большинство из которых имеют довольно низкую корреляцию с Y. Если одна из этих переменных имеет большую корреляцию с Y, R ² может быть незначительным, потому что с таким большим количеством IV мы могли бы ожидать увидеть такой же большой R ² просто случайно. Если R ² не имеет значения, обычно следует избегать интерпретации значимых весов b .В таких случаях вполне вероятно, что значительный вес b является ошибкой типа I.

Тестирование инкрементального R ²

Мы можем протестировать изменение в R ² , которое происходит, когда мы добавляем новую переменную в уравнение регрессии. Мы можем начать с 1 переменной и вычислить R ² (или r ² ) для этой переменной. Затем мы можем добавить вторую переменную и вычислить R ² с обеими переменными в нем. Второй R ² всегда будет равен или больше первого R ² .Если он больше, мы можем спросить, значительно ли он больше. Для этого вычисляем

, где R ² _L — это большее R ² (с большим количеством предикторов), k _L — количество предикторов в более крупном уравнении, а k _S — количество предикторов в меньшем уравнении. Когда ноль истинно, результат распределяется как F ​​ со степенями свободы, равными ( k _L — k _S ) и ( N — k _L -1) .В нашем примере мы знаем, что R ² _y.12 = 0,67 (из предыдущих вычислений), а также что r _y1 = 0,77 и r _y2 = 0,72. r ² _y1 = 0,59 и r ² _y2 = 0,52. Теперь мы можем увидеть, увеличивает ли добавление X1 или X2 к уравнению, содержащему другое, R ² в значительной степени. Чтобы увидеть, добавляет ли X1 дисперсию, мы начнем с X2 в уравнении:

Наше критическое значение F (1,17) равно 4.45, поэтому наш F ​​ для увеличения X1 по сравнению с X2 является значительным.

Для увеличения X2 над X1 мы имеем

Наше критическое значение F ​​ не изменилось, поэтому приращение к R ² на X2 не является (довольно) значительным.