Пример факторинга: Факторинг в примерах | Retail.ru
Стороны факторинговой сделки — фактор, клиент, дебитор, все о сторонах факторинговой сделки
Чтобы эффективно использовать возможности факторинга, нужно хорошо понимать механизм взаимодействия участвующих в сделке компаний: клиента, его контрагента и фактора (финансирующей организации). О том, кто и как заключает факторинговую сделку, читайте в нашем материале.
Три стороны факторинговой сделки
Факторинг – это вид финансирования, суть которого и структура сделки принципиально отличаются от более привычных кредитов и займов. Среди основных отличий то, что в факторинговой сделке участвуют не две, а три стороны – исполнитель контракта, его заказчик и факторинговая компания.
· Поставщик или подрядчик (исполнитель контракта) – поставляет товар, оказывает услуги, выполняет работы по контракту с заказчиком.
· Заказчик (покупатель) – согласно контракту с исполнителем обязан произвести оплату товара, работ или услуг денежными средствами.
· Факторинговая компания (фактор) – выплачивает финансирование поставщику или подрядчику, погашая денежные обязательства заказчика. Взамен у фактора появляется право требовать от заказчика оплату обязательств, а в качестве вознаграждения за свои услуги компания получает факторинговую комиссию.
Таким образом, в стандартном контракте между заказчиком и исполнителем появляется третья сторона. Факторинговая компания вначале оплачивает вместо заказчика исполнителю товар, работы или услуги, а затем заказчик рассчитывается не с поставщиком или подрядчиком, а с оплатившей обязательства факторинговой компанией.
Подробнее о сути сделок под уступку денежных требований – в статье «Что такое факторинг?»
Заметим, что при оформлении факторинга права и обязанности сторон контракта не меняются – поставщик все так же обязан качественно исполнить контракт, а заказчик – оплатить его.
Меняется только кредитор по уступленным денежным требованиям и (по согласованию сторон) срок оплаты этих обязательств – с помощью факторинга заказчик может увеличить отсрочку платежа.
Три роли в договоре факторинга
Испытывать потребность в факторинговом финансировании может как исполнитель контракта, так и его заказчик:
· Поставщик или подрядчик с целью быстро пополнить оборотный капитал, закрыть кассовые разрывы привлекает досрочную оплату дебиторской задолженности заказчика.
· Заказчик может быть инициатором факторинга, чтобы оплатить аванс поставщику, удлинить отсрочку платежа или иметь более удобный график погашения задолженности.
Именно та сторона, которая инициирует получение финансирования, и будет являться клиентом факторинговой компании. А значит, роли в договоре факторинга могут не совпадать с определением сторон факторинговой сделки:
· Клиент (поставщик или заказчик, инициатор сделки) – подает заявку на финансирование, заключает договор факторинга и оплачивает комиссию.
· Дебитор (контрагент клиента, вторая сторона финансируемого контракта) – согласует уступку денежного требования.
· Фактор (факторинговая компания) – осуществляет финансирование.
Таким образом, если речь о классическом факторинге – когда поставщик уступает факторинговой компании денежные требования к заказчику по уже исполненному контракту – клиентом будет поставщик, а дебитором – заказчик. Если речь, например, о факторинге аванса (когда фактор вместо заказчика выплачивает поставщику предоплату по контракту) – то клиентом будет заказчик, а дебитором поставщик.
О том, как заключить договор и получить онлайн-финансирование, читайте в статье «Схема выдачи бездокументарного факторинга»
Заинтересовала услуга онлайн-факторинга? Чтобы узнать индивидуальные условия финансирования для вашей компании, подайте заявку в личном кабинете на GetFinance или свяжитесь со специалистом компании по телефону 8 (800) 500 55 52.
Договор факторинга. Образец заполнения и бланк 2021 года
Договор факторинга (или договор финансирования) подразумевает двухстороннее соглашение, в силу которого один участник договора (финансовый агент), передает своему контрактуальному партнеру (клиенту) деньги в обмен на право денежных требований к третьему лицу – должнику.Суть договора и правовое регламентирование
Правовое регулирование правоотношений факторинга осуществляется на основании статьи 824 ГК РФ. В соответствии со смыслом статьи, под договором факторинга подразумевается финансирование под уступку материального (денежного) требования.
Само финансирование при этом подразумевает возмездность услуги. Условиями договора, таким образом, становятся следующие действия контрагентов:
- Финансовый агент передает своему контрагенту (клиенту) финансовые средства в виде займа или аванса.
- Контрагент (клиент) уступает финансовому агенту имеющееся у него право требовать возврата денег у третьего лица (должника).
Обязанности и права финансового агента
К обязанностям и правам финансового агента как субъекта договора факторинга относятся следующие действия, которые ему надлежит выполнить в рамках договора:- передать деньги клиенту в размере, соразмерном праву истребования долга с третьего лица;
- принять на себя обязанности по учету требований клиента к должникам;
- предпринять меры по обеспечению возврата должниками денежных средств;
- воплотить свое право требования, то есть предъявить должникам претензии по выплатам долга;
- принять от должников платежи.
Также договор может предусматривать обязанность финансового агента вести бухгалтерский учет в интересах клиента и предоставлять ему другие услуги по предмету договора, то есть по долговым обязательствам должников.
Выступать в качестве финансового агента может любое кредитное учреждение, в частности, при попытке клиента получить кредит в банке.
Если клиент сможет закрыть кредит, то права требования долгов вернутся к нему, если же нет, то эти права перейдут в собственность кредитора.
Предмет договора факторинга
Услуга, оказываемая финансовым агентом своему клиенту, является тем стержнем, на котором основываются все условия договора факторинга. Причем оказываемая услуга является разноплановой и включает в себя несколько форм гражданско-правовых отношений, к примеру:
- уступку права требования;
- заем или кредитования;
- аванс;
- оказание услуг и т.д.
Легче будет рассмотреть договор факторинга на небольшом примере.
Прикладной факторинг
В качестве субъекта примера будет удобно взять некую крупную компанию «А», среди заказчиков которой имеется большое количество должников.
Несмотря на обширный фронт работ и заказов, у компании «А» начинаются финансовые проблемы, связанные с задержкой оплаты ее товаров или услуг.
Помочь такой компании сможет организация «Б», специализирующаяся на истребовании долгов за вознаграждение. Она переведет на счет компании денежные средства, в которых та нуждается, а взамен получит от нее право истребовать долг с должников.
Оформляться эта помощь будет в виде договора факторинга, по условиям которого «А» получит деньги для продолжения своей деятельности, а «Б» – должника, от которого будет требовать возврата долга.
Содержание договора и особые услуги
В тексте договора контрагенты оговаривают:
- вид факторинга;
- объем денежных средств, получаемый клиентом от финансового агента;
- объем комиссионного вознаграждения финансового агента;
- ответственность за неисполнение условий договора;
- другие условия, которые стороны пожелают закрепить в договоре.
К другим (дополнительным) услугам, устанавливаемым на усмотрение сторон договора факторинга, может относиться осуществление бухгалтерских операций по учету долговых требований.
Подобная услуга будет актуальной в случае, если клиент передает финансовому агенту право требования по долговым обязательствам в отношении многих или нескольких должников.
Виды факторинга
Под видом договора факторинга подразумевается способ уступки денежных требований. Так, клиент по договору может:
- обменять право денежных требований на денежное финансирование со стороны финансового агента;
- передать право денежных требований финансовому агенту в виде залога, призванного обеспечить возврат финансирования. Право требования в таком случае перейдет к финансовому агенту только в случае, если клиент не сможет вернуть сумму, полученную от финансового агента в порядке финансирования по договору факторинга.
Другое разделение по видам факторинга осуществляется в силу реальности либо консенсуальности договорных обязательств.
В зависимости от подобного деления можно говорить о потенциальной возможности либо невозможности принудить финансового агента к выдаче кредита клиенту, а клиента принудить к передаче права требования долговых обязательств.
Если договор факторинга является консенсуальным, то права и обязанности контрагентов возникнут после достижения ими соглашения по условия договора. При реальном характере договора права и обязанности возникнут только при передаче предмета договора, то есть денег и долговых обязательств.
Консенсуальный договор даст сторонам право принудить своего контрагента к передаче предмета договора. При реальном характере договора такого права у контрагентов не будет.
Часть 1 статьи 824 ГК позволяет сторонам заключение договора с осуществлением передачи предмета договора как в реальном времени, так и в будущем.
Риски факторинга
Как и любые кредитные правоотношения, договор факторинга относится к типу договоров с повышенными рисками.
Поэтому до момента заключения договора финансовому агенту требуется проведение тщательного анализа финансового положения контрагента и должника (должников) с тем, чтобы убедиться в возможности возврата затраченных кредитных средств.
Анализ производится по нескольким позициям:
- ликвидность баланса;
- срок задолженности;
- состав задолженности;
- конкурентоспособность и возможность реализации выпускаемой клиентом или должником продукции;
- рынок, на котором сбывается продукция клиента или должника;
- конъюнктура рынка сбыта;
- платежеспособность клиента и должника и т.д.
Проведение анализа осуществляется аналитиками финансового агента на основании:
- бухгалтерской документации клиента или должника;
- кредитных историй клиента или должника;
- информация в средствах массовой информации, касающаяся клиента или должника и т.д.
При наличии заявки клиента на кредит на условиях договора факторинга кредитная организация обязана осуществить анализ в течение двух недель.
При положительных выводах по результатам проведения анализа кредитная организация (банк) заключает с клиентом договор факторинга с обязательным включением в текст договора следующих позиций:
- верхний лимит кредитной суммы, выдаваемой клиенту;
- верхний лимит долговых обязательств, принимаемых на инкассо.
Лимит кредитной суммы определяется исходя из объема долговых обязательств, право на которые имеет клиент по договору факторинга.
Сроки
Закон не регламентирует срок, на который может быть заключен договор факторинга, то есть длительность договора всецело оставляется на усмотрение контрагентов. Практика показывает, что минимальный срок действия договора факторинга не может быть менее одного года.
Факторинг
Пример факторинга существующих денежных требований Один из наиболее распространенных видов факторинга – досрочная оплата исполненных контрактов (этапов контракта), по которым предусмотрена отсрочка платежа. Пример: поставщик заключил контракт на поставку текстильной продукции в течение года. При этом поставка осуществляется ежемесячно по заявкам заказчика, а оплата происходит в конце срока – 31 декабря. Таким образом, поставщик ежемесячно привозит товар и получает закрывающий документ на поставленный объем и сумму. Поставщик может уступить задолженность заказчика по закрывающему документу факторинговой компании и сразу же получить до 90% от суммы поставки.
Выплата финансирования производится на расчетный счет поставщика в течение 24 часов с момента подписания сторонами реестра денежных требований.
В согласованный срок заказчик оплачивает свои обязательства по контракту, но не поставщику, а факторинговой компании, так как была оформлена уступка задолженности.
Пример факторинга аванса Подрядчик заключил контракт на строительство больницы, при этом предусмотрена выплата аванса в размере 30% от цены контракта. У заказчика нет возможности оплатить аванс, из-за чего подрядчик не приступает к исполнению контракта. Заказчик может обратиться в факторинговую компанию и оформить факторинг аванса. Факторинговая компания выполняет обязательства заказчика и выплачивает подрядчику до 100% от суммы предусмотренного аванса, выплата средств производится на расчетный счет подрядчика в течение 24 часов с момента подписания сторонами реестра денежных требований. Подрядчик приступает к исполнению контракта. Заказчик в согласованный и удобный для него срок погашает задолженность перед факторинговой компанией, возвращая ей сумму финансирования.
В факторинге аванса клиент (заказчик) уступает права будущего требования возврата аванса. Если поставщик не исполнит свои обязательства по контракту в срок, то он будет обязан вернуть выплаченный ему аванс. Но так как была оформлена уступка, то он вернет его не заказчику, а факторинговой компании, профинансировавшей контракт.
Пример факторинга качестваПоставщик заключил контракт на поставку нефтепродуктов в течение года. При этом поставка осуществляется ежемесячно по заявкам заказчика, а оплата происходит поквартально за весь объем продукции, отгруженной в течение 3 месяцев. Поставщик ежемесячно, с января по март, поставлял нефтепродукты, но 1 апреля заказчик не смог оплатить свои обязательства. Поставщик приостановил исполнение контракта до получения просроченной задолженности.
Чтобы расплатиться с поставщиком и возобновить поставки, заказчик обращается в факторинговую компанию и заключает договор факторинга качества. Факторинговая компания оплачивает обязательства заказчика перед поставщиком.
Выплата средств производится на расчетный счет поставщика в течение 24 часов с момента подписания сторонами реестра денежных требований. В согласованный и удобный для него срок заказчик погашает задолженность факторинговой компании.
В факторинге качества клиент (заказчик) уступает права будущего требования возврата денежных средств, которые могут возникнуть из-за претензий к качеству товара. Если поставщик поставит некачественный товар, то он обязан вернуть полученные по контракту средства. Но так как была оформлена уступка, то он вернет их не заказчику, а факторинговой компании, профинансировавшей контракт.
Что такое факторинг: простое и подробное объяснение, схема
Финансирование бизнеса » Услуги факторинга »
Факторинг представляет собой комплекс услуг, важнейшим звеном которого является уступка (продажа) дебиторской задолженности компании.
Факторинг простыми словами
Разберем приведенное выше определение подробнее и объясним его простыми доступными словами.
Сущность факторинга очень проста, если отбросить специфические термины, разобраться в нем не составляет труда.
Долги одних компаний перед другими — это нормальное и широко распространенное явление. Именно долги в пользу конкретной фирмы называются ее дебиторской задолженностью. Как она возникает?
Например, оптовый продавец может отгрузить покупателю партию товара, а покупаетель рассчитывается с ним не сразу, а через неделю (по тем или иным причинам). Или: консалтинговая фирма провела анализ бизнеса другой организации, представила свои рекомендации, полностью выполнив условия договора. Фирма-клиент, по тому же договору, должна провести оплату в течение 10 дней (не мгновенно).
Очевидно, что проволочки в оплате серьезно мешают бизнесу, снижая его устойчивость и способность к развитию. Возращаясь к самому простому примеру — торговле — пока покупатель не оплатил выставленный оптовиком счет, продавец не может приобрести новую партию товара для обслуживания других контрагентов.
Сущность факторинга как раз и заключается в ликвидации этих проволочек. Третье лицо (банк, специализированная факторинговая компания) выкупает обязательства покупателя, предоставляя продавцу «живые» деньги сразу после продажи товара. Разумеется, это делается не бесплатно — однако возможность бесперебойного функционирования бизнеса обычно позволяет легко «отбить» комиссию фактора.
Механизм факторинга
Механизм достаточно прост, сложности в понимании возникают в связи с необходимостью хорошо понимать роли участников сделки.
Их трое.
| Кредитор | Дебитор | Фактор | |
| Роль | Поставщик товаров или услуг | Покупатель, клиент кредитора | Банк или специализированная компания |
| Выгода от сделки | Бесперебойный бизнес, привлекательность товара для покупателя за счет отсрочки, грамотное управление задолженностью | Получение отсрочки платежа | Комиссия за предоставленные услуги |
Вот обычные этапы процесса.
- Клиент факторинговой компании оказывает услуги или предоставляет покупателю товары и услуги с отсрочкой платежа.
- Клиент (продавец) передает фактору документы, подтверждающие факт появления дебиторской задолженности.
- Фактор покрывает большую часть задолженности (вплоть до 95%).
- Дебитор проводит оплату за товар или услуги.
- Кредитор и фактор проводят окончательные расчеты между собой: банк получает обратно свои деньги с дополнительной комиссией за услуги, продавец получает остаток полагающихся ему средств (5 — 30%).
Для окончательной ясности — ознакомьтесь со схемами.
Схема факторинга
Это наиболее простой вариант — закрытый тип. Фактор проводит расчеты только с кредитором.
В более сложном варианте — открытом — отношения есть между всеми тремя участниками. Покупатель рассчитывается уже с банком — то есть задолженность полностью устуается фактору.
Остальные этапы аналогичны первой схеме. Разумеется, различия в документообороте при этом достаточно существенны.
Пример факторинга
В большинстве, факторингом пользуются небольшие компании, т.е. компании, которые не имеют возможности получить кредитное финансирование от Банков.
Рассмотрим порядок действий на примере факторинга, при котором осуществляется финансирование от факторинговой фирмы.
- 1. Поставщик обращается в факторинговую фирму за предоставлением финансирования по предстоящей отгрузке и предоставляет факторинговой компании все необходимые документы:
- a. Юридические и уставные документы,
- b. бухгалтерские отчеты, включающие в себя несколько периодов,
- c. заполненная Анкета на свою компанию,
- d. заполненная Анкета на покупателя, которого поставщик хочет передать на факторинг,
- e. копия договора поставки с данным покупателем.
- 2. По договору с отсрочкой платежа сроком от 30 до 120 дней, поставщик отгружает покупателю продукцию.
- 3. Покупатель фиксирует факт получения товара и фиксирует это в отгрузочных документах поставщика.
- 4. Поставщик после отгрузки письмом уведомляет покупателя о том, что оплата за отгруженную продукцию должна быть переведены на расчетный счет факторинговой компании.
- 5. Факторинговая компания, на основании факта передачи поставщика покупателю письма, выдает поставщику денежные средства в сумме до 90% от объема поставленного покупателю товара.
- 6. По окончании отсрочки платежа, то есть срока от 30 до 120 дней, покупатель перечисляет сумму своей кредиторской задолженности не поставщику, а факторинговой фирме.
- 7. По факту оплаты задолженности от покупателя, факторинговая фирма начисляет комиссию поставщику.
- 8. Поставщик оплачивает факторинговой компании комиссию за предоставленное финансирование.
- 9. Факторинговая фирма, в случае возникновения разницы, перечисляет ее поставщику. Разница состоит из:
- a. СУММА за отгруженный товар покупателя, МИНУС
- b. СУММА, выплаченного финансирования поставщику, и МИНУС
- c. СУММА комиссии, оплаченная поставщиком факторинговой компании.
Комиссия начисляется от суммы предоставленного финансирования и зависит от:
- формы передачи дебиторской задолженности;
- срока отсроченного платежа.
В описанной схеме используется один из примеров факторинга, когда поставщик уверен в платежеспособности покупателя.
Какие же формы передачи дебиторской задолженности существуют?
Есть две формы:
Регрессивная
Поставщик уверен в том, что покупатель оплатит товар и обязуется в случае неуплаты вернуть факторинговой компании полученное финансирование. Срок отсроченного платежа здесь может быть 30-45 дней.
Без регресса
Поставщик не уверен в платежеспособности покупателя и передает факторинговой фирме дебиторскую задолженность покупателя.
В случае неуплаты покупателем задолженности, факторинговая фирма сама предпринимает действия по возврату задолженности от покупателя.
Срок предоставленного финансирования в этом случае составляет 30-120 дней. Размер комиссии при этой форме финансирования значительно больше.
Комиссия состоит из следующих частей, и облагается НДС:
- Комиссия за финансирование, которая начисляется в процентах годовых;
- Комиссия за обслуживание в факторинговой фирме, которая начисляется в процентах от объема отгруженной продукции;
- Сбор за обработку документов.
Читайте также
10 апреля стартовал первый курс Школы факторинга — АКК
10 апреля Ассоциация корпоративных казначеев, ВТБ Факторинг и Школа финансов НИУ ВШЭ приветствовали участников первого набора слушателей Школы факторинга. Это новый образовательный проект в формате интенсива, сочетающего теоретические основы факторинга и практическое его использование на примере конкретных кейсов.
Факторинг всегда являлся отличным инструментом финансирования рабочего капитала, управления рисками, развитием сети поставщиков и покупателей. Особенно важно это сейчас, в период высокой рыночной волатильности и общей неопределённости. Однако, для наиболее эффективного применения факторинга, необходимо хорошо понимать базовую структуру операции, юридическую основу, различные формы и варианты использования. Поэтому для успешного внедрения этого инструмента крайне полезно получить системные знания обо всех аспектах применения.
Использование факторинга решает задачи сразу нескольких подразделений: коммерческого направления и закупок, казначейства, направления кредитного риск-менеджмента. Поэтому предлагаемый учебный курс может быть интересен достаточно широкому кругу специалистов. Но, в первую очередь, он предназначен для казначеев, как людей, отвечающих за финансирование рабочего капитала. Причём хорошо проработанная программа и подача материала с разных сторон привлечёт людей с разным уровнем опыта. Курс поможет получить глубокие знания по вопросу, а также взглянуть на уже знакомые моменты с новой стороны.
Важным отличием курса является не только структура программы, но состав преподавателей – это и сотрудники НИУ ВШЭ, и представители Факторов, и действующие корпоративные казначеи. Проходящие курс получат не только теоретическую базу, но и смогут обсудить живые кейсы, получив практические примеры из жизни и рекомендации по конкретным вопросам.
Программа предназначена для действующих специалистов и руководителей финансовых служб, желающих расширить свои знания о современных инструментах факторинга и практике их применения для более эффективного управления оборотным капиталом компаний. Курс рассчитан на 20 академических часов.
По окончании обучения и после успешного прохождения заключительного испытания участники курса получат сертификаты Школы финансов НИУ ВШЭ. Для удобства слушателей занятия будут проходить по субботам.
Если Вы хотите принять участие во втором потоке Школы факторинга, сообщите на адрес: [email protected]
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.
Видеоинструкции по работе — Электронный факторинг — СКБ Контур
Заполните, пожалуйста, все поля.
Кому:
Электронный факторинг
Ваше имя: *
Электронная почта: *
Телефон:
Название организации:
ИНН:
Регион: *
01 – Республика Адыгея02 – Республика Башкортостан03 – Республика Бурятия04 – Республика Алтай05 – Республика Дагестан06 – Республика Ингушетия07 – Республика Кабардино-Балкария08 – Республика Калмыкия09 – Республика Карачаево-Черкесия10 – Республика Карелия11 – Республика Коми12 – Республика Марий Эл13 – Республика Мордовия14 – Республика Саха (Якутия)15 – Республика Северная Осетия — Алания16 – Республика Татарстан17 – Республика Тыва18 – Республика Удмуртия19 – Республика Хакасия20 – Республика Чечня21 – Республика Чувашия22 – Алтайский край23 – Краснодарский край24 – Красноярский край25 – Приморский край26 – Ставропольский край27 – Хабаровский край28 – Амурская область29 – Архангельская область30 – Астраханская область31 – Белгородская область32 – Брянская область33 – Владимирская область34 – Волгоградская область35 – Вологодская область36 – Воронежская область37 – Ивановская область38 – Иркутская область39 – Калининградская область40 – Калужская область41 – Камчатский край42 – Кемеровская область43 – Кировская область44 – Костромская область45 – Курганская область46 – Курская область47 – Ленинградская область48 – Липецкая область49 – Магаданская область50 – Московская область51 – Мурманская область52 – Нижегородская область53 – Новгородская область54 – Новосибирская область55 – Омская область56 – Оренбургская область57 – Орловская область58 – Пензенская область59 – Пермский край60 – Псковская область61 – Ростовская область62 – Рязанская область63 – Самарская область64 – Саратовская область65 – Сахалинская область66 – Свердловская область67 – Смоленская область68 – Тамбовская область69 – Тверская область70 – Томская область71 – Тульская область72 – Тюменская область73 – Ульяновская область74 – Челябинская область75 – Забайкальский край76 – Ярославская область77 – Москва78 – Санкт-Петербург79 – Еврейская АО83 – Ненецкий АО86 – Ханты-Мансийский АО87 – Чукотский АО89 – Ямало-Ненецкий АО91 – Республика Крым92 – Севастополь99 – Байконур
Вопрос: *
Факторинг по алгебре
Факторы
У чисел есть множители:
И выражения (например, x 2 + 4x + 3 ) также имеют множители:
Факторинг
Факторинг (в Великобритании называется « Факторинг ») — это процесс нахождения факторов :
Факторинг: поиск того, что нужно умножить, чтобы получить выражение.
Это похоже на «разбиение» выражения на умножение более простых выражений.
Пример: множитель 2y + 6
У 2y и 6 есть общий множитель 2:
Таким образом, мы можем разложить все выражение на:
2у + 6 = 2 (у + 3)
Таким образом, 2y + 6 было «учтено» в 2 и y + 3
Факторинг также противоположен расширению:
Общий коэффициент
В предыдущем примере мы видели, что 2y и 6 имеют общий множитель 2
Но для правильного выполнения работы нам нужен наивысший общий множитель , включая любые переменные
Пример: коэффициент 3y
2 + 12yВо-первых, 3 и 12 имеют общий делитель 3.
Итак, мы могли бы иметь:
3 года 2 + 12 лет = 3 (год 2 + 4 года)
Но мы можем сделать лучше!
3y 2 и 12y также разделяют переменную y.
Вместе, что составляет 3 года:
- 3y 2 — 3y × y
- 12y — 3y × 4
Таким образом, мы можем разложить все выражение на:
3 года 2 + 12 лет = 3 года (y + 4)
Чек: 3y (y + 4) = 3y × y + 3y × 4 = 3y 2 + 12y
Более сложный факторинг
Факторинг может быть трудным!
До сих пор примеры были простыми, но факторизация может оказаться очень сложной.
Потому что мы должны изобразить то, что мы умножили на , чтобы получить данное нам выражение!
Это все равно, что пытаться найти, какие ингредиенты
пошли на торт, чтобы сделать его таким восхитительным.
Это может быть сложно понять!
Опыт помогает
Чем больше опыта, тем проще факторинг.
Пример: Фактор
4x 2 — 9Хммм … похоже, нет общих факторов.
Но знание специальных биномиальных произведений дает нам ключ к разгадке, который называется «разница квадратов». :
Потому что 4x 2 равно (2x) 2 , а 9 равно (3) 2 ,
Итак имеем:
4x 2 — 9 = (2x) 2 — (3) 2
А это можно получить по формуле разности квадратов:
(a + b) (a − b) = a 2 — b 2
Где a — 2x, а b — 3.
Итак, давайте попробуем это сделать:
(2x + 3) (2x − 3) = (2x) 2 — (3) 2 = 4x 2 — 9
Да!
Таким образом, множители 4x 2 — 9 равны (2x + 3) и (2x − 3) :
Ответ: 4x 2 -9 = (2x + 3) (2x − 3)
Как можно этому научиться? Получив много практики и зная «Самобытность»!
Помните эти личности
Вот список общих «Идентификаций» (включая «разность квадратов» , использованную выше).
Об этом стоит помнить, так как они могут облегчить факторинг.
| а 2 — б 2 | = | (а + б) (а-б) |
| a 2 + 2ab + b 2 | = | (а + б) (а + б) |
| a 2 — 2ab + b 2 | = | (а-б) (а-б) |
| a 3 + b 3 | = | (a + b) (a 2 −ab + b 2 ) |
| a 3 — b 3 | = | (a − b) (a 2 + ab + b 2 ) |
| a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 | = | (а + б) 3 |
| a 3 −3a 2 b + 3ab 2 −b 3 | = | (а-б) 3 |
Подобных гораздо больше, но это самые полезные.
Совет
Обычно лучше всего использовать разложенную форму.
При попытке факторизации выполните следующие действия:
- «Вынести за скобки» любые общие термины
- Посмотрите, подходит ли он какой-либо из идентификационных данных, плюс еще какие-то, которые вы, возможно, знаете
- Продолжайте, пока вы больше не сможете множить
Существуют также системы компьютерной алгебры (называемые «CAS»), такие как Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce и многие другие, которые хорошо справляются с факторингом.
Другие примеры
Опыт действительно помогает, поэтому вот еще несколько примеров, которые помогут вам на этом пути:
Пример: w
4 — 16Показатель степени 4? Может быть, мы могли бы попробовать показатель степени 2:
w 4 — 16 = (w 2 ) 2 — 4 2
Да, это разница квадратов
w 4 — 16 = (w 2 + 4) (w 2 — 4)
И «(w 2 — 4)» — еще одно отличие квадратов
w 4 -16 = (w 2 + 4) (w + 2) (w -2)
Это все, что я могу (если я не использую мнимые числа)
Пример: 3u
4 — 24uv 3Удалить общий множитель «3u»:
3u 4 — 24uv 3 = 3u (u 3 — 8v 3 )
Тогда разница кубиков:
3u 4 — 24uv 3 = 3u (u 3 — (2v) 3 )
= 3u (u − 2v) (u 2 + 2uv + 4v 2 )
Это все, что я могу.
Пример: z
3 — z 2 — 9z + 9Попробуйте разложить на множители первые два и вторые два по отдельности:
z 2 (z − 1) — 9 (z − 1)
Вау, (z-1) есть на обоих, так что давайте воспользуемся этим:
(z 2 −9) (z − 1)
А z 2 −9 — разность квадратов
(г-3) (г + 3) (г-1)
Это все, что я могу.
А теперь побольше опыта:
Факторинговая квадратичная
«Факторинг» (или «Факторинг» в Великобритании) квадратичный:
найти, что умножить, чтобы получить квадратичный
Это называется «факторинг», потому что мы находим факторы (коэффициент — это то, на что мы умножаем)
Пример:
Умножение (x + 4) и (x − 1) вместе (так называемое Расширение) дает x 2 + 3x — 4 :
Таким образом, (x + 4) и (x − 1) являются множителями x 2 + 3x — 4
На всякий случай проверим:
(х + 4) (x − 1) = x (x − 1) + 4 (x − 1)
= х 2 — х + 4х — 4
= х 2 + 3х — 4Да, (x + 4) и (x − 1) определенно являются множителями x 2 + 3x — 4
Вы видели, что расширение и факторинг — противоположности?
Расширение обычно легко, но факторинг часто бывает сложным .
Это все равно, что пытаться найти, какие ингредиенты
пошли на торт, чтобы сделать его таким восхитительным.
Это может быть сложно понять!
Итак, давайте попробуем пример, где мы еще не знаем факторов:
Общий коэффициент
Сначала проверьте, есть ли общие факторы.
Пример: каковы множители 6x
2 — 2x = 0?6 и 2 имеют общий множитель 2 :
2 (3x 2 — x) = 0
И x 2 и x имеют общий множитель x :
2x (3x — 1) = 0
И мы это сделали! Коэффициенты: 2x и 3x — 1 ,
.Теперь мы также можем найти корней (где он равен нулю):
- 2x равно 0, когда x = 0
- 3x — 1 равно нулю, когда x = 1 3
А это график (посмотрите, как он равен нулю при x = 0 и x = 1 3 ):
Но это не всегда так просто…
Угадай и проверь
Может быть, ответ угадать?
Пример: каковы множители 2x
2 + 7x + 3?Нет общих факторов.
Давайте попробуем угадать ответ, а затем проверим, правы ли мы … нам может повезти!
Мы могли угадать (2x + 3) (x + 1):
(2x + 3) (x + 1) = 2x 2 + 2x + 3x + 3
= 2x 2 + 5x + 3 (НЕПРАВИЛЬНО)
Как насчет (2x + 7) (x − 1):
(2x + 7) (x − 1) = 2x 2 — 2x + 7x — 7
= 2x 2 + 5x — 7 (СНОВА НЕПРАВИЛЬНО)
Хорошо, как насчет (2x + 9) (x − 1):
(2x + 9) (x − 1) = 2x 2 — 2x + 9x — 9
= 2x 2 + 7x — 9 (СНОВА НЕПРАВИЛЬНО)
О нет! Мы можем долго гадать, прежде чем нам повезет.
Это не очень хороший метод. Так что давайте попробуем что-нибудь еще.
Метод для простых случаев
К счастью, есть метод, который работает в простых случаях.
С квадратным уравнением в этой форме:
Шаг 1 : Найдите два числа, которые умножаются, чтобы получить ac (другими словами, a на c), и сложить, чтобы получить b.
Пример: 2x 2 + 7x + 3
ac равно 2 × 3 = 6 , а b равно 7
Итак, мы хотим, чтобы два числа, которые умножались вместе, давали 6 и в сумме давали 7
Фактически это делают 6 и 1 (6 × 1 = 6 и 6 + 1 = 7)
Как найти 6 и 1?
Это помогает составить список факторов ac = 6 , а затем попытаться добавить некоторые, чтобы получить b = 7 .
Факторы 6 включают 1, 2, 3 и 6.
Ага! 1 и 6 складываются с 7 и 6 × 1 = 6.
Шаг 2 : Перепишите середину с этими числами:
Перепишите 7x с 6 x и 1 x:
2x 2 + 6x + x + 3
Шаг 3 : Разделите на множители первые два и последние два термина отдельно:
Первые два члена 2x 2 + 6x разложить на 2x (x + 3)
Последние два члена x + 3 в данном случае фактически не меняются
Получаем:
2х (х + 3) + (х + 3)
Шаг 4 : Если мы сделали это правильно, два наших новых члена должны иметь четко видимый общий множитель.
В этом случае мы видим, что (x + 3) является общим для обоих терминов, поэтому мы можем пойти:
Начать с: 2x (x + 3) + (x + 3)
Что составляет: 2x (x + 3) + 1 (x + 3)
А так: (2x + 1) (x + 3)
Готово!
Чек: (2x + 1) (x + 3) = 2x 2 + 6x + x + 3 = 2x 2 + 7x + 3 (Да)
Намного лучше, чем гадать!
Давайте снова посмотрим шаги с 1 по 4 за один раз :
| 2x 2 + 7x + 3 |
| 2x 2 + 6x + x + 3 |
| 2x (x + 3) + (x + 3) |
| 2x (x + 3) + 1 (x + 3) |
| (2x + 1) (x + 3) |
Хорошо, давайте попробуем другой пример:
Пример: 6x
2 + 5x — 6Шаг 1 : ac равно 6 × (−6) = −36 , а b равно 5
Перечислите положительные множители ac = −36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Одно из чисел должно быть отрицательным, чтобы получилось −36, поэтому, играя с несколькими разными числами, я обнаружил, что −4 и 9 работают хорошо:
−4 × 9 = −36 и −4 + 9 = 5
Шаг 2 : Перепишите 5x с −4x и 9x:
6x 2 — 4x + 9x — 6
Шаг 3 : Разложите на множители первые два и последние два:
2x (3x — 2) + 3 (3x — 2)
Шаг 4 : Общий множитель (3x — 2):
(2x + 3) (3x — 2)
Проверка: (2x + 3) (3x — 2) = 6x 2 — 4x + 9x — 6 = 6x 2 + 5x — 6 (Да)
В поисках чисел
Самая трудная часть — найти два числа, которые умножаются, чтобы получить ac, и складывать, чтобы получить b.
Это отчасти предположение, и оно помогает перечислить все факторы .
Вот еще один пример, который может вам помочь:
Пример: ac = −120 и b = 7
Какие два числа умножают на -120 и добавляют к 7 ?
Множитель 120 (плюс и минус):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 и 120
Мы можем попробовать пары множителей (начнем с середины!) И посмотреть, прибавят ли они к 7:
.- −10 x 12 = −120 и −10 + 12 = 2 (нет)
- −8 x 15 = −120 и −8 + 15 = 7 (ДА!)
Попрактикуйтесь
Почему фактор?
Что ж, одно из больших преимуществ факторизации состоит в том, что мы можем найти корней квадратного уравнения (где уравнение равно нулю).
Все, что нам нужно сделать (после факторинга), это найти, где каждый из двух факторов становится равным нулю
Пример: каковы корни (нули) у 6x
2 + 5x — 6?Мы уже знаем (сверху) коэффициенты
(2x + 3) (3x — 2)
И мы можем вычислить, что
(2x + 3) равно нулю, когда x = −3/2
и
(3x — 2) равно нулю, когда x = 2/3
Итак, корни 6x 2 + 5x — 6 равны:
−3/2 и 2/3
Вот график 6x 2 + 5x — 6, видите, где он равен нулю?
И мы также можем проверить это с помощью небольшой арифметики:
При x = -3/2: 6 (-3/2) 2 + 5 (-3/2) — 6 = 6 × (9/4) — 15/2 — 6 = 54/4 — 15 / 2-6 = 6-6 = 0
При x = 2/3: 6 (2/3) 2 + 5 (2/3) — 6 = 6 × (4/9) + 10/3 — 6 = 24/9 + 10/3 — 6 = 6-6 = 0
Графики
Мы также можем попробовать построить квадратное уравнение.Увидев, где он равен нулю, мы можем понять.
Пример: (продолжение)
Начиная с 6x 2 + 5x — 6 и только этот участок:
Корни равны около x = −1,5 и x = +0,67, поэтому мы можем предположить, что корни равны:
−3/2 и 2/3
Что может помочь нам вычислить коэффициенты 2x + 3 и 3x — 2
Тем не менее, всегда проверяйте! На графике значение +0.67 на самом деле может не быть 2/3
Общее решение
Существует также общее решение (полезно, когда вышеуказанный метод не работает), в котором используется формула корней квадратного уравнения:
Используйте эту формулу, чтобы получить два ответа x + и x — (один для случая «+», а другой для случая «-» в «±»), и мы получим это факторинг :
а (х — х + ) (х — х — )
Давайте воспользуемся предыдущим примером, чтобы увидеть, как это работает:
Пример: каковы корни у 6x
2 + 5x — 6?Подставляем a = 6, b = 5 и c = −6 в формулу:
x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a
= −5 ± √ (5 2 — 4 × 6 × (−6)) 2 × 6
= −5 ± √ (25 + 144) 12
= −5 ± √169 12
= −5 ± 13 12
Итак, два корня:
х + = (-5 + 13) / 12 = 8/12 = 2/3,
x — = (−5 — 13) / 12 = −18/12 = −3/2
(Обратите внимание, что мы получаем тот же ответ, что и при факторинге ранее.)
Теперь поместите эти значения в (x — x + ) (x — x — ):
6 (х — 2/3) (х + 3/2)
Мы можем немного изменить это, чтобы упростить:
3 (х — 2/3) × 2 (х + 3/2) = (3x — 2) (2x + 3)
И мы получаем те же факторы, что и раньше.
362, 1203, 2262, 363, 1204, 2263, 2100, 2101, 2102, 2103, 2264, 2265
(Спасибо «mathsyperson» за части этой статьи)
Алгебра — разложение многочленов
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметкиПохоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 1-5: Факторинг многочленов
Из всех тем, затронутых в этой главе, разложение многочленов, вероятно, является наиболее важной темой.В следующих главах есть много разделов, в которых первым шагом будет факторизация многочлена. Итак, если вы не можете разложить многочлен на множители, вы не сможете даже начать задачу, не говоря уже о ее завершении.
Давайте начнем с того, что немного поговорим о том, что такое факторинг. Факторинг — это процесс, с помощью которого мы определяем, на что мы умножили, чтобы получить заданное количество. Мы все время делаем это с числами. Например, вот несколько способов множителя 12.
\ [\ begin {align *} 12 & = \ left (2 \ right) \ left (6 \ right) & \ hspace {0.5 дюймов} 12 & = \ left (3 \ right) \ left (4 \ right) & \ hspace {0,25 дюйма} 12 & = \ left (2 \ right) \ left (2 \ right) \ left (3 \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \\ 12 & = \ left ({\ frac {1}} \ right) \ left ({24} \ right) & \ hspace {0,5 дюйма} 12 & = \ left ({ — 2} \ right) \ left ({- 6} \ right) & \ hspace {0,5 дюйма} 12 & = \ left ({- 2} \ right) \ left (2 \ right) \ left ({- 3} \ вправо) \ end {align *} \]Есть еще много возможных способов множителя 12, но они типичны для многих из них.
Общий метод разложения чисел на множители состоит в том, чтобы полностью разложить числа на положительные простые множители. Простое число — это число, единственные положительные делители которого равны 1 и самому себе. Например, 2, 3, 5 и 7 являются примерами простых чисел. Примеры непростых чисел: 4, 6 и 12, чтобы выбрать несколько.
Если мы полностью разложим число на положительные простые множители, будет только один способ сделать это. Это причина такого факторинга.Для нашего примера выше с 12 полная факторизация:
\ [12 = \ влево (2 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) \ влево (3 \ вправо) \] Факторинг многочленов выполняется примерно таким же образом. Мы определяем все члены, которые были перемножены, чтобы получить заданный многочлен. Затем мы пытаемся разложить на множители каждый из терминов, найденных на первом этапе. Это продолжается до тех пор, пока мы больше не сможем принимать во внимание факторы. Когда мы больше не сможем разложить на множители, мы скажем, что полином полностью разложен на множители.2} + 4} \ right) \ left ({x + 2} \ right) \ left ({x — 2} \ right) \] Цель этого раздела — познакомиться со многими методами разложения многочленов на множители. Первый метод разложения многочленов — это разложение на множители наибольшего общего множителя . При факторинге в целом это также будет первое, что мы должны попробовать, поскольку это часто упрощает проблему. Чтобы использовать этот метод, все, что мы делаем, — это просматриваем все термины и определяем, есть ли фактор, общий для всех терминов.Если есть, мы вычленим его из полинома. Также обратите внимание, что в этом случае мы действительно используем только закон распределения в обратном порядке. Помните, что согласно закону о дистрибьюции Выделяя наибольший общий фактор, мы делаем это в обратном порядке. Мы замечаем, что в каждом члене есть \ (a \), и поэтому мы «факторизуем» его, используя закон распределения в обратном порядке: Давайте рассмотрим несколько примеров.5} — 3x + 1} \ right) \] Обратите внимание на «+1», где 3 \ (x \) изначально было в последнем члене, поскольку последний член был термином, который мы вычленили, нам нужно было напомнить себе, что изначально там был термин. Для этого нам понадобится «+1» и обратите внимание, что это «+1» вместо «-1», потому что термин изначально был положительным. Если бы изначально это был отрицательный термин, нам пришлось бы использовать «-1». Одна из наиболее распространенных ошибок, связанных с этим типом задач факторинга, — это забыть об этой «1».2} + 6 \) Показать решение У этого термина также есть «-» перед третьим членом, как мы видели в предыдущей части. Однако на этот раз перед четвертым членом стоит знак «+», в отличие от последней части. Мы по-прежнему будем вычеркивать «-» при группировке, чтобы убедиться, что мы не теряем его из виду. Когда мы выносим за скобки «-», обратите внимание, что нам нужно заменить «+» в четвертом члене на «-». Опять же, вы всегда можете проверить, что это было сделано правильно, умножив «-» на круглые скобки.3} — 2} \ right) \] Факторинг по группировке может быть приятным, но срабатывает не так уж часто. Обратите внимание, что, как мы видели в последних двух частях этого примера, если перед третьим членом стоит «-», мы часто также вычленяем его из третьего и четвертого терминов, когда мы их группируем. Во-первых, отметим, что квадратичный — это еще один термин, обозначающий многочлен второй степени. Итак, мы знаем, что наибольший показатель квадратичного многочлена будет равен 2.{2} \), и единственный способ добиться этого — это умножить \ (x \) на \ (x \). Следовательно, первый член в каждом множителе должен быть \ (x \). Чтобы закончить это, нам просто нужно определить два числа, которые должны стоять на пустых местах. Мы можем значительно сузить возможности. После умножения двух множителей эти два числа нужно будет умножить, чтобы получить -15. Другими словами, эти два числа должны быть множителями -15. Вот все возможные способы множителя -15, используя только целые числа. Теперь мы можем просто вставить их один за другим и умножать, пока не получим правильную пару. Однако есть еще одна хитрость, которую мы можем использовать здесь, чтобы помочь нам. Чтобы получить коэффициент при члене \ (x \), необходимо сложить правильную пару чисел.2} \) означает умножение 3 \ (x \) и \ (x \), это должны быть первые два члена. Однако найти числа для двух пробелов будет не так просто, как в предыдущих примерах. Нам нужно будет начать со всеми множителями -8. На данный момент единственный вариант — выбрать пару, подключить их и посмотреть, что произойдет, когда мы умножим члены. 2} + 2x — 8 \] Итак, мы получили.2} — 17x + 6 = \ left ({5x + \ underline {\, \, \, \,}} \ right) \ left ({x + \ underline {\, \, \, \,}} \ right ) \] Далее нам нужны все множители 6. Вот они. Не забывайте о негативных факторах. Часто именно они нам и нужны. Фактически, заметив, что коэффициент при \ (x \) отрицателен, мы можем быть уверены, что нам понадобится одна из двух пар отрицательных факторов, поскольку это будет единственный способ получить там отрицательный коэффициент.2} + 10x — 6 & = \ left ({2x + \ underline {\, \, \, \,}} \ right) \ left ({2x + \ underline {\, \, \, \,}} \ вправо) \ end {align *} \] Чтобы заполнить пробелы, нам понадобятся все множители -6. 2} + 10x — 6 = \ left ({2x — 1} \ right) \ left ({2x + 6} \ right) \] Также обратите внимание, что на этапе проб и ошибок мы должны убедиться и включить каждую пару в обе возможные формы и в оба возможных порядка, чтобы правильно определить, является ли это правильной парой факторов или нет.2} \] Это просто неверно для подавляющего большинства сумм квадратов, поэтому будьте осторожны, чтобы не совершить эту очень распространенную ошибку. Есть редкие случаи, когда это можно сделать, но ни один из этих особых случаев здесь не рассматривается. В общем, нет единого метода для этого. Однако есть некоторые, что мы можем сделать, поэтому давайте рассмотрим несколько примеров. Обратите внимание, что это преобразование в \ (u \) вначале может быть полезно в некоторых случаях, однако, как только вы к этому привыкнете, это обычно происходит в наших головах. Мы не сделали здесь много задач и не рассмотрели все возможности. Однако мы рассмотрели некоторые из наиболее распространенных приемов, с которыми мы можем столкнуться в других главах этой работы. Владение алгеброй — ключевой инструмент в понимании и усвоении математики.Для тех, кто стремится повысить свой уровень в изучении алгебры, факторинг является фундаментальным навыком , необходимым для решения сложных задач, связанных с многочленами. Факторинг используется на каждом уровне алгебры для решения многочленов, построения графиков функций и упрощения сложных выражений. Как правило, факторизация — это операция, обратная раскрытию выражения. Например, 3 (x — 2) — это факторизованная форма 3x — 6, а (x — 1) (x + 6) — факторизованная форма x 2 + 5x — 6.В то время как расширение — сравнительно простой процесс, факторинг — немного сложная задача, и поэтому ученик должен практиковать различные типы факторизации, чтобы научиться их применять. Если есть какой-либо урок алгебры, который вызывает недоумение у многих студентов, то это тема факторизации трехчленов. Эта статья поможет вам шаг за шагом понять, как решать проблемы, связанные с факторингом трехчленов. Следовательно, иллюзия того, что эта тема является самой сложной, будет вашим рассказом из прошлого. Вы узнаете, как разложить на множители все виды трехчленов, в том числе с ведущим коэффициентом, равным 1, и с ведущим коэффициентом, не равным 1. Коэффициент — это число, которое делит другое заданное число, не оставляя остатка . У каждого числа есть коэффициент, который меньше или равен самому числу. Например, множители числа 12 сами по себе равны 1, 2, 3, 4, 6 и 12.Мы можем заключить, что все числа имеют множитель 1, и каждое число является множителем само по себе. До изобретения электронных и графических калькуляторов факторизация была самым надежным методом нахождения корней полиномиальных уравнений . Хотя квадратные уравнения давали решения, которые были более прямыми по сравнению со сложными уравнениями, они были ограничены только для Факторинг позволяет нам переписать многочлен в более простые множители , и, приравняв эти множители к нулю, мы можем определить решения любого полиномиального уравнения. Существует нескольких методов факторизации полиномов . В этой статье мы сосредоточимся на том, как разложить на множители различные типы трехчленов, например, трехчлены с ведущим коэффициентом, равным 1, и трехчлены с ведущим коэффициентом, не равным 1. Прежде чем мы начнем, мы должны ознакомиться со следующими терминами. Общий множитель определяется как число, которое можно разделить на два или более разных числа, не оставляя остатка. Например, общие множители чисел 60, 90 и 150 равны; 1, 2, 3,5, 6,10, 15 и 30. Наибольший общий делитель чисел — это наибольшее значение множителей данных чисел . Например, учитывая общие множители 60, 90 и 150: 1, 2, 3,5, 6,10, 15 и 30, поэтому наибольший общий множитель равен 30. GCF. для трехчлена — это наибольший одночлен, который делит каждый член трехчлена. Например, чтобы найти GCF выражения 6x 4 — 12x 3 + 4x 2 , мы применяем следующие шаги: (2 * 3 * x * x * x * x) — (2 * 2 * 3 * x * x * x) + (2 * 2 * x * x) Вы можете обвести или раскрасить множители следующим образом: (2 * 3 * x * x * x * x) — (2 * 2 * 3 * x * x * x) + (2 * 2 * x * x ) Следовательно, GCF для 6x 4 — 12x 3 + 4x 2 равно 2x 2 Полином — это алгебраическое выражение, содержащее более двух членов, таких как переменные и числа , обычно объединены операциями сложения или вычитания. Примеры многочленов: 2x + 3, 3xy — 4y, x² — 4x + 7 и 3x + 4xy — 5y. Трехчлен — это алгебраическое уравнение, состоящее из трех членов и обычно имеющее форму ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — числовые коэффициенты. Число «a» называется старшим коэффициентом и не равно нулю (a 0). Например, x² — 4x + 7 и 3x + 4xy — 5y являются примерами трехчленов. С другой стороны, бином — это алгебраическое выражение, состоящее из двух членов.Примеры биномиального выражения включают; x + 4, 5 — 2x, y + 2 и т. д. Фактор трехчлена означает разложение уравнения на произведение двух или более биномов. Это означает, что мы перепишем трехчлен в виде (x + m) (x + n). Ваша задача определить значение m и n. Другими словами, мы можем сказать, что факторизация трехчлена — это процесс, обратный методу фольги. Давайте рассмотрим следующие шаги, чтобы разложить множители x 2 + 7x + 12: (х + 3) (х + 4). Чтобы разложить на множитель трехчлена с ведущим коэффициентом, не равным 1, мы применяем концепцию наибольшего общего множителя (GCF) как , показанную на шагах ниже: Подводя итог этому уроку, мы можем разложить на множители трехчлен вида ax 2 + bx + c, применив любую из этих пяти формул: Давайте теперь разложим на множители пару примеров трехчленных уравнений. Пример 1 Фактор 6x 2 + x — 2 Решение GCF = 1, поэтому это бесполезно. Умножьте старший коэффициент a на константу c. ⟹ 6 * -2 = -12 Перечислите все множители 12 и определите пару, которая имеет произведение -12 и сумму 1. ⟹ — 3 * 4 ⟹ -3 + 4 = 1 Теперь перепишите исходное уравнение, заменив член «bx» выбранными множителями ⟹ 6x 2 — 3x + 4x — 2 Разложите выражение на множители путем группировки. ⟹ 3x (2x — 1) + 2 (2x — 1) ⟹ (3x + 2) (2x — 1) Пример 2 Фактор 2x 2 — 5x — 12. Решение 2x 2 — 5x — 12 = 2x 2 + 3x — 8x — 12 = x (2x + 3) — 4 (2x + 3) = (2x + 3 ) (x — 4) Пример 3 Фактор 6x 2 -4x -16 Решение GCF для 6, 4 и 16 равно 2. Вынести за скобки ЗКФ. 6x 2 — 4x — 16 ⟹ 2 (3x 2 — 2x — 8) Умножьте старший коэффициент «a» на константу «c». ⟹ 6 * -8 = — 24 Определите парные множители 24 и сумму -2. В данном случае факторы 4 и -6. ⟹ 4 + -6 = -2 Перепишите уравнение, заменив член «bx» выбранными множителями. 2 (3x 2 — 2x — 8) ⟹ 2 (3x 2 + 4x — 6x — 8) Факторизуйте, группируя и не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ. ⟹ 2 [x (3x + 4) — 2 (3x + 4)] ⟹ 2 [(x — 2) (3x + 4)] Пример 4 Фактор 3x 3 — 3х 2 — 90х. Решение Поскольку GCF = 3x, множите его; 3x 3 — 3x 2 — 90x ⟹3x (x 2 — x — 30) Найдите пару множителей, произведение которых равно −30, а сумма равна −1. ⟹- 6 * 5 = -30 ⟹ −6 + 5 = -1 Перепишите уравнение, заменив член «bx» на выбранные множители. ⟹ 3x [(x 2 — 6x) + (5x — 30)] Разложите уравнение на множители; ⟹ 3x [(x (x — 6) + 5 (x — 6)] = 3x (x — 6) (x + 5) Пример 5 Фактор 6z 2 + 11z + 4. Решение 6z 2 + 11z + 4 ⟹ 6 z 2 + 3 z + 8 z + 4 ⟹ (6 z 2 + 3 z ) + (8 z + 4) ⟹ 3z (2z + 1) + 4 (2z + 1) = (2 z + 1) (3 z + 4) Разложите на множители каждое из следующих трехчленов. Ответы Есть ли у вас представление о факторизации многочленов ? Поскольку теперь у вас есть основная информация о многочленах, мы узнаем, как решать квадратичные многочлены с помощью факторизации. Прежде всего, давайте быстренько рассмотрим квадратное уравнение . Квадратное уравнение — это многочлен второй степени, обычно в форме f (x) = ax 2 + bx + c, где a, b, c, ∈ R, и a ≠ 0. Термин «a» означает называется старшим коэффициентом, а «c» — абсолютным членом f (x). Каждое квадратное уравнение имеет два значения неизвестной переменной, которых обычно называют корнями уравнения (α, β). Мы можем получить корни квадратного уравнения, разложив уравнение на множители. По этой причине факторизация является фундаментальным шагом на пути к решению любого уравнения в математике. Давайте разберемся. Факторинг квадратного уравнения можно определить как процесс разбиения уравнения на произведение его факторов. Другими словами, мы также можем сказать, что факторизация — это обратное умножению. Чтобы решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 путем факторизации, используются следующие шаги : Пример 1 Решите: 2 (x 2 + 1) = 5x Решение Разверните уравнение и переместите все члены слева от знака равенства. ⟹ 2x 2 — 5x + 2 = 0 ⟹ 2x 2 — 4x — x + 2 = 0 ⟹ 2x (x — 2) — 1 (x — 2) = 0 ⟹ ( x — 2) (2x — 1) = 0 Приравняем каждый множитель к нулю и решим ⟹ x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0 ⟹ x = 2 или x = 1212 Следовательно, решения x = 2, 1/2. Пример 2 Решить 3x 2 — 8x — 3 = 0 Решение 3x 2 — 9x + x — 3 = 0 ⟹ 3x (x — 3) + 1 (x — 3) = 0 ⟹ (x — 3) (3x + 1) = 0 ⟹ x = 3 или x = -13 Пример 3 Решите следующее квадратное уравнение ( 2x — 3) 2 = 25 Решение Разверните уравнение (2x — 3) 2 = 25, чтобы получить; ⟹ 4x 2 — 12x + 9-25 = 0 ⟹ 4x 2 — 12x — 16 = 0 Разделите каждый член на 4, чтобы получить; ⟹ x 2 — 3x — 4 = 0 ⟹ (x — 4) (x + 1) = 0 ⟹ x = 4 или x = -1 Существует множество методов факторизации квадратных уравнений.В этой статье мы сделаем акцент на том, как разложить квадратные уравнения на множители, в которых коэффициент при x 2 равен 1 или больше 1. Таким образом, мы будем использовать метод проб и ошибок, чтобы получить правильные множители. для данного квадратного уравнения. Чтобы разложить квадратное уравнение вида x 2 + bx + c, старший коэффициент равен 1. Вам необходимо определить два числа, произведение и сумма которых равны c и b соответственно. СЛУЧАЙ 1: Когда b и c положительны Пример 4 Решите квадратное уравнение: x 2 + 7x + 10 = 0 Перечислите множители 10: 1 × 10, 2 × 5 Определите два множителя с произведением 10 и суммой 7: 1 + 10 ≠ 7 Проверьте множители, используя распределительное свойство умножения. (x + 2) (x + 5) = x 2 + 5x + 2x + 10 = x 2 + 7x + 10 Факторы квадратного уравнения: (x + 2) (x + 5) Приравнивание каждого множителя к нулю дает; x + 2 = 0 ⟹x = -2 x + 5 = 0 ⟹ x = -5 Следовательно, решением будет x = — 2, x = — 5 Пример 5 х 2 + 10х + 25. Решение Определите два фактора с произведением 25 и суммой 10. 5 × 5 = 25 и 5 + 5 = 10 Проверьте факторы. x 2 + 10x + 25 = x 2 + 5x + 5x + 25 = x (x + 5) + 5x + 25 = x (x + 5) + 5 (x + 5) = (x + 5) (x + 5) Следовательно, x = -5 — это ответ. СЛУЧАЙ 2: Когда b положительно, а c отрицательно Пример 6 Решите x 2 + 4x — 5 = 0 Решение Запишите множители -5. 1 × –5, –1 × 5 Определите факторы, произведение которых равно — 5, а сумма равна 4. 1 — 5 ≠ 4 Проверьте факторы, используя свойство распределения. (x — 1) (x + 5) = x 2 + 5x — x — 5 = x 2 + 4x — 5 x — 1 = 0 ⇒ x = 1, или Следовательно, x = 1, x = -5 — решения. СЛУЧАЙ 3: Когда оба значения b и c отрицательны Пример 7 x 2 — 5x — 6 Решение Запишите множители — 6: 1 × –6, –1 × 6, 2 × –3, –2 × 3 Теперь определите факторы, произведение которых равно -6, а сумма равна –5: 1 + (–6) = –5 Проверьте коэффициенты используя распределительное свойство. (x + 1) (x — 6) = x 2 — 6 x + x — 6 = x 2 — 5x — 6 Приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить; x + 1 = 0 ⇒ x = -1, или Следовательно, решение x = 6, x = -1 СЛУЧАЙ 4: Когда b отрицательно, а c положительно Пример 8 x 2 — 6x + 8 = 0 Решение Запишите все множители 8 . –1 × — 8, –2 × –4 Определить факторы, произведение которых равно 8, а сумма равна -6 Проверьте коэффициенты с помощью распределительного свойства. (x — 2) (x — 4) = x 2 — 4 x — 2x + 8 = x 2 — 6x + 8 Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите выражение, чтобы получить; (x — 2) (x — 4) = 0 x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или Пример 9 Разложить на множители x 2 + 8x + 12. Решение Запишите множители 12; 12 = 2 × 6 или = 4 × 3 2 + 6 = 8 Используйте свойство распределения, чтобы проверить множители; = x 2 + 6x + 2x + 12 = (x 2 + 6x) + (2x + 12) = x (x + 6) +2 (x + 6) = x (x + 6 ) +2 (x + 6) = (x + 6) (x + 2) Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить; (x + 6) (x + 2) x = -6, -2 Иногда старший коэффициент квадратного уравнения может быть больше чем 1.В этом случае мы не можем решить квадратное уравнение, используя общие множители. Следовательно, нам нужно рассмотреть коэффициент при x 2 и множители при c, чтобы найти числа, сумма которых равна b. Пример 10 Решите 2x 2 — 14x + 20 = 0 Решение Определите общие множители уравнения. 2x 2 — 14x + 20 ⇒ 2 (x 2 — 7x + 10) Теперь мы можем найти множители (x 2 — 7x + 10).Поэтому запишите коэффициенты 10: –1 × –10, –2 × –5 Определите коэффициенты, сумма которых равна — 7: 1 + (–10) ≠ –7 Проверьте коэффициенты, применив свойство распределения. 2 (x — 2) (x — 5) = 2 (x 2 — 5 x — 2x + 10) Приравняйте каждый множитель к нулю и решите; x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или Пример 11 Решить 7x 2 + 18x + 11 = 0 Решение Запишите множители 7 и 11. 7 = 1 × 7 11 = 1 × 11 Примените свойство распределения для проверки факторов, как показано ниже: (7x + 1) (x + 11) ≠ 7x 2 + 18x + 11 (7x + 11) (x + 1) = 7x 2 + 7x + 11x + 11 = 7x 2 + 18x + 11 Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить; 7x 2 + 18x + 11 = 0 x = -1, -11/7 Пример 12 Решить 2x 2 — 7x + 6 = 3 Решение 2x 2 — 7x + 3 = 0 (2x — 1) (x — 3) = 0 x = 1/2 или x = 3 Пример 13 Решить 9x 2 + 6x + 1 = 0 Решение Разложить на множители, чтобы получить: (3x + 1) (3x + 1) = 0 (3x + 1) = 0, Следовательно, x = −1 / 3 Пример 14 Разложить на множители 6x 2 — 7x + 2 = 0 Решение 6x 2 — 4x — 3x + 2 = 0 Разложите выражение на множители; ⟹ 2x (3x — 2) — 1 (3x — 2) = 0 ⟹ (3x — 2) (2x — 1) = 0 ⟹ 3x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0 ⟹ 3x = 2 или 2x = 1 ⟹ x = 2/3 или x = ½ Пример 15 Факторизация x 2 + (4 — 3y) x — 12y = 0 Решение Разверните уравнение; x 2 + 4x — 3xy — 12y = 0 Разложить на множители; ⟹ x (x + 4) — 3y (x + 4) = 0 x + 4) (x — 3y) = 0 ⟹ x + 4 = 0 или x — 3y = 0 ⟹ x = -4 или x = 3y Таким образом, x = -4 или x = 3y Решите следующие квадратные уравнения путем факторизации: Ответы Факторинг — это вид финансирования, при котором одна компания покупает дебиторскую задолженность другой компании , т.е.е., его счета-фактуры (деньги, которые ему причитаются). Когда продавец отправляет своему покупателю счет, факторинговая компания немедленно выплачивает продавцу от 70% до 85% стоимости счета. Продавец получает остаток, когда покупатель оплачивает счет. Клиент оплачивает счет факторинговой компании. Эта форма финансирования помогает предприятиям сталкиваться с проблемами движения денежных средств из-за медленно платящих клиентов. Финансируя свои счета-фактуры, компания, испытывающая проблемы с денежным потоком, имеет оборотных средств Денежный поток — это движение денег в компанию, организацию или счет и из них. В алгебре «факторинг» (UK: факторизация) — это процесс нахождения множителей числа. Например, в уравнении 2 x 3 = 6 числа два и три являются множителями. Эта статья посвящена значению этого термина в мире бизнеса и финансов. Team Technology имеет следующее определение термина: «[Факторинг] — это продажа ваших счетов факторинговой компании. Вы получаете наличные быстро, и вам не нужно взыскивать долг.” «Однако вы теряете часть стоимости счета. Факторинговая компания получает долг и должна его взыскать ». Компания, покупающая ваши счета, зарабатывает деньги, взимая с вас процент от стоимости счета. Мы называем компанию, которая покупает ваши счета, «фактором «. Не путайте термин с дисконтом по счету. При дисконтировании счета компания запрашивает ссуду и использует свою дебиторскую задолженность в качестве обеспечения. Однако при факторинге компания продает свою дебиторскую задолженность. В Соединенном Королевстве разница между этими двумя терминами не так очевидна. На некоторых рынках Великобритании люди рассматривают дисконтирование счетов как одну из форм факторинга. В частности, когда это связано с «уступкой дебиторской задолженности» в статистике факторинга. Что касается значения дисконтирования счетов в Великобритании, Википедия пишет: «Следовательно, это также не считается заимствованием в Великобритании. В Великобритании договоренность обычно носит конфиденциальный характер, поскольку должник не уведомляется об уступке дебиторской задолженности, а продавец дебиторской задолженности взыскивает задолженность от имени фактора ». «В Великобритании основное различие между факторингом и дисконтированием счетов — конфиденциальность». — Деньги получаются быстро. — Меньше хлопот. Фактор предполагает все хлопоты по контролю за кредитом, то есть погоню за безнадежными долгами. Впоследствии вы можете высвободить свое и других людей время для ведения бизнеса. Безнадежный долг — это просроченный платеж, который либо никогда не будет выплачен, либо потребует решительных действий. Кредитору, возможно, придется подать на должника в суд. Должником является песон или сторона, которая должна деньги. — Вы можете лучше контролировать движение денежных средств в компании. Это также упрощает планирование заранее. — Клиенты склонны уважать факторы. Поэтому они с большей вероятностью заплатят вовремя. — Если вы выберете факторинг без права регресса, вам не придется беспокоиться о безнадежных долгах. — Ваш фактор будет проверять кредитоспособность ваших клиентов. Это может гарантировать, что вы ведете бизнес с хорошими клиентами. — Фактор получает процент от стоимости вашего счета. Следовательно, страдает ваша маржа прибыли. — Вы потеряете некоторую гибкость.Вы должны вести дела с компаниями, одобренными фактором. — Согласно BIBusinessInfo.co.uk: «Запросы и споры могут отрицательно повлиять на ваше доступное финансирование. По этой причине факторинг работает лучше всего, когда бизнес эффективен, а споров и запросов мало ». — Некоторым вашим клиентам могут не нравиться кредитные контролеры фактора, то есть погонщики за долгами. — Риск сложения. Согласно Byte Start , «быстрое получение денег» похоже на наркотик.Сойти с него может быть нелегко. Например, вам может потребоваться вливание капитала, чтобы получить бесплатное. FinanceExpert содержит интересную информацию о факторинге. На его веб-сайте объясняется, что это такое, как это работает и как компании могут этим воспользоваться. Он также сообщает нам, каковы затраты. Умножение двух целых чисел дает произведение.Числа, которые мы умножаем, являются множителями продукта. Пример : 3 × 5 = 15, следовательно, 3 и 5 являются множителями 15. Это также означает: Коэффициент делит число полностью, не оставляя остатка. Например, : 30 ÷ 6 = 5, и остатка нет. Таким образом, мы можем сказать, что 5 и 6 являются множителями 30. В данном примере мы можем дополнительно разбить или упростить число 6 на его множители, то есть 2 и 3.Другими словами, когда мы умножаем 5, 2 и 3, мы все равно получаем 30. Следовательно, множители 30 равны 5, 2 и 3. Кроме того, 5 × 2 = 10. Таким образом, 10 также является множителем 30. Точно так же 5 × 3 = 15. Итак, 15 также является множителем 30. Наконец, множители 30 равны 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30 Число 1 — наименьший делитель каждого числа. Каждое число будет иметь как минимум два множителя: 1 и само число. Число, состоящее только из двух делителей, 1 и самого числа, называется простым числом. Когда мы записываем число как произведение всех его простых множителей, это называется разложением на простые множители. Каждое число в разложении на простые множители является простым числом. Иногда, чтобы записать простые множители числа, нам, возможно, придется повторить число. Наибольший общий коэффициент
Разложение квадратичных многочленов на множители
Факторинговые многочлены со степенью больше 2
Триномиальное разложение на множители — Метод и примеры
Прежде чем мы начнем, полезно вспомнить следующие термины:
полиномов второй степени. Как разложить на множители трехчлены со старшим коэффициентом 1
Как разложить на множители трехчлены с помощью GCF?
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок Факторизация квадратных уравнений — методы и примеры
Как разложить квадратное уравнение на множители?
Факторинг, когда коэффициент x
2 равен 1
2 + 5 = 7.
–1 + 5 = 4
(x — 1) (x + 5) = 0
x + 5 = 0 ⇒ x = -5
(x + 1) (x — 6) = 0
x — 6 = 0 ⇒ x = 6
–1 + (–8) ≠ –6
–2 + (–4) = –6
x — 4 = 0 ⇒ x = 4
Найдите множители, сумма которых равна 8:
2 × 6 ≠ 8 Факторинг, когда коэффициент x
2 больше 1
–2 + (–5) = –7
= 2 (x 2 — 7x + 10) = 2x 2 — 14x + 20
2 (x — 2) (x — 5) = 0
x — 5 = 0 ⇒ x = 5
(7x + 11) (x + 1) = 0
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок Что такое факторинг? Определение и примеры
Что такое фактор? [Определение, факты и пример]
Что такое факторы?
Факторизация на простые числа
Об авторе