Средняя выработка на одного рабочего формула: Формула среднегодовой выработки одного рабочего

При расчёте нормы наработки, уборки производственных помещений учитывается то, что разные поверхности не моются одинаково хорошо. Плюс уборщикам требуется передвигаться от одного помещения к другому.

Н_выр = (Т_см – Т_обс – Т_лн — Т_отд) * К / Т_оп,

где Н_в — норма выработки,

Т_см — продолжительность смены в минутах,

Т_обс — время, требуемое на обслуживание рабочего места в течение смены, в минутах;

Т_отд — время, потраченное на отдых, в минутах,

Т_лн — время на перерыв по личным надобностям в минутах,

Т_оп — время на уборку 1 м² площади в секундах,

К – коэффициент, который учитывается при уборке. Его определяют с секундомером. Он показывает, какое время тратится при переходе между залами.

Примеры расчёта

Для единичного производства:

Мастер, изготовляющий чапельники ручной работы, работает 20000 с в день. Время на одну штуку – 2500 с.

Н_выр = 20000 / 2500 = 8 шт.

Мастер за день изготовляет 8 чапельников ручной работы.

Для массового производства:

Время рабочей смены на заводе по производству чапельников составляет 28800 с. Время на изготовление одного чапельника, согласно нормативным документам, — 1800 с.

Н_выр = 28800 / 1800 = 16 шт.

Один рабочий за одну смену должен сделать 16 чапельников.

Для производства, где нормируется подготовительный этап:

На другом чапельном заводе учитывается время, которое требуется рабочим для подготовки рабочего места и инструментов. Продолжительность смены – 28800 с. Время на изготовление одного чапельника – 1700 с. Время подготовительных работ – 200 с.

Н_выр = (28800 — 200) / 1700 = 16.82 шт.

Рабочий на втором заводе должен изготовить в течение смены 16.82 чапельника.

Для автоматизированного производства:

На чапельниковом заводе № 2 стали использоваться чапельниковые машины, в теории способные производить по 50 чапельников в течение смены. Коэффициент полезного времени труда за одну смену у машин составляет 0.95. Нормированное время обслуживания составляет 0.85 рабочей смены.

Н_выр = 0.85 * 50 * 0.95 = 40.375 шт.

Чапельниковая машина должна будет производить по 40.375 изделий в день.

Для периодических аппаратурных процессов на производстве:

Другие рабочие того же завода должны приделывать на чапельники автоматические защёлки – с использованием машин. Продолжительность смены – 28800 секунд. На обслуживание машин выделяется 1000 с. По личным нуждам можно отлучаться на 900 с в течение смены. За один период машина приделывает 10 защёлок. Время обслуживания составляет 0.85 смены. Длительность одного периода использования машины составляет 500 с.

Н_выр = (28800 – 1000 — 900) * 10 * 0.85 / 500 = 457.3 шт.

Рабочие в течение смены должны приделать 457.3 автоматических защёлки к чапельникам.

Для пищевой промышленности:

На приготовление овсяной каши повар в столовой для рабочих завода по производству чапельников тратит 28700 с. Подготовительное время занимает 1200 с. На подготовку необходимых ингредиентов и рабочего места у повара уходит 1000 с. В перерывах на отдых тратится 3200 с. Согласно нормативным документам, на приготовление одной порции овсянки необходимо тратить 1800 с.

Н_выр = (28700 – (1200 + 1000 + 3200)) / 1800 = 12.94 порций

В течение смены повар должен будет приготовить 12.94 порции овсяной каши.

Для уборки помещений:

Подготовительное время занимает 200 с. На подготовку необходимых средств уходит 1000 с.

В перерывах на отдых тратится 3000 с. Согласно нормативным документам, коэффициент К составляет 0.5. На уборку одного помещения, согласно тем же документам, уходит 1200 с.

Нвыр = (14000 – (200 + 1000 + 3000)) * 0.5 / 1200 = 8.17 помещений

За смену уборщик должен будет прибрать 4.85 помещений.

Дорогие читатели, информация в статье могла устареть, воспользуйтесь бесплатной консультацией позвонив по телефонам: Москва +7 (499) 938-66-24, Санкт-Петербург +7 (812) 425-62-38, Регионы 8800-350-97-52

Без названия 1

1. Давайте изучим производственная функция Кобба-Дугласа, представленная в классе. Хотя это не указано явно, уравнение роста, указанное в п. 6.1 — Источники роста — это формат Кобба-Дугласа. Давайте посмотрим на экономику более двадцати лет. Общий объем производства вырос с 6501 до 12679, основной капитал увеличился. выросла с 22 033 до 38 440, а рабочая сила увеличилась с.107 к .143. Все измерения в реальности термины. Рассчитайте взносы к экономическому росту за счет роста капитала, рабочей силы и производительности:

а. Предполагая, что α = 0,3 и β = 0,7.

б. Полагая, что α = 0,5 и β = 0,5 .

Производственная функция Кобба-Дугласа — очень распространенная функция, используемая экономисты и.3 / .7 постоянная отдача от масштаба хорошо подходит для экономики США. Цифры, используемые в задаче, являются фактическими данными США за 1980, 1990 и 2000 триллионами.

рост выпуска (12 679-6 501) / 6501 = 95,03%

прирост основного капитала (38,440-22033) / 22033 = 74,47%

прирост рабочей силы (это фактически занятые работники) (0,143–0,107) / 0,107 = 33,64%

D A / A = D Y / Y — а _К D К / К — a _N D N / N

Это 49.14% в части a и 40,98% в части b.

2. Для конкретной экономики следующие затраты капитала K и затраты труда N были представлены в четырех различных лет:

Производство функция в этой экономике

Y = К ^.3 N ^,7 где Y — общий выпуск.

а. Найдите общий выпуск, капитал-труд коэффициент и объем производства на одного работника за каждый год. Сравните год 1 с годом 3 и годом 2 с 4 года. Может ли эта продукция функция должна быть написана в форме для каждого работника? Если это так, запишите алгебраически форму производства на одного рабочего. функция.

б. Повторите часть (а), но теперь предположите, что производственная функция Y = K ^.3 N ^,8

Как и в предыдущей задаче, это реальные числа, но это очень ограничительная производственная функция.Без совокупной факторной производительности цифры далеко.

3. В экономике на одного работника производственная функция

y _t = 3k ^0,5

где — это выпуск на одного работника и — соотношение капитала и труда. Норма амортизации 0,08, а темп прироста населения — 0,04. Экономия S _t = 0,1Y _t , где — общие национальные сбережения и — общий объем производства.

а. Каковы установившиеся значения соотношение капитала и труда, объем производства на одного рабочего и потребление на одного рабочего?

SF ( k ) = ( n + г ) к

0,1 ´ 3 к ^,5 = (0,08 + 0,04) к

0,3 к ^,5 = 0, 12 к

0.3 / 0,12 = к / к ^,5

2,5 = к ^,5

к = 6 ² = 6,25

л = 3 к ^,5 = 7,5

с = и — ( п. + г ) к = 6,75

Остальная часть проблемы показывает влияние изменений в трех фундаментальные детерминанты долгосрочного уровня жизни.

б. Повторите часть (а), чтобы сэкономить 0,12 вместо 0,1.

SF ( k ) = ( n + г ) к

0,12 ´ 3 к ^,5 = (0,08 + 0,04) к

3 = к ^,5

к = 3 ² = 9

л = 3 к ^.5 = 9

с = и — ( п. + г ) к = 7,92

c. Повторите часть (а) для роста населения ставка 0,06 (при норме экономии 0,1).

SF ( k ) = ( n + г ) к

0.1 ´ 3 к ^,5 = (0,08 + 0,06) к

2,1428 = к ^,5

к = 4,59

л = 6,429

с = и — ( п. + г ) к = 5,786

d.Повторите часть (a) для производственной функции y _t = 4k ^0,5

Предположим, что норма сбережений и темп прироста населения находятся на исходных значениях.

SF ( k ) = ( n + г ) к

0,1 ´ 4 к ^,5 = (0,08 + 0,04) к

к = 11.11

л = 13,33

с = и — ( п. + г ) к = 12

4. Согласно нашей модели роста, как повлияет ли каждое из следующих действий на выпуск на одного работника, инвестиции на одного работника, потребление на одного работника и соотношение капитала к труду в долгосрочной перспективе (т. е. в устойчивом состоянии)? Иллюстрировать с графиком!

а.А ураган разрушает часть основной капитал страны.

Уничтожение части основного капитала страны не повлияет на конечное установившееся состояние, поскольку не было изменений в с , f , n или d . Вместо этого k временно сокращено, но равновесные силы в конечном итоге приводят k к тому же установившемуся значению как прежде.

б. Конгресс решает разрешить кому бы то ни было мигрировать в США. Поскольку большая часть нового населения имеет более высокий уровень рождаемости по сравнению с текущее население, общий темп прироста населения увеличивается.

Иммиграционная служба увеличивает n с n ¹ до n ² . Повышение n понижает установившееся значение k , что приводит к более низкому постоянному потреблению на одного работника.

c. Конгресс требует от всех штатов увеличить использование неископаемого топлива для защиты среда. Это вызывает увеличение в цены на энергоносители.

Рост в цены на энергию снижают производительность капитала на одного работника. Это вызывает как производственная функция на душу населения и SF ( k ) для смещения вниз. В график ниже только иллюстрирует сдвиг инвестиций на душу населения, чтобы показать снижение в установившемся режиме k .Все факторы будут сокращены. Когда вы изобразите это обязательно включите сдвиг обеих кривых. У меня не было красивой предварительно сделанный график, поэтому я заменил его этим частичным, но аккуратным графиком.

d. Американцы становятся все более тревожными о глобальном потеплении и увеличивают свои сбережения (повышение нормы сбережений) до обеспечить некоторую защиту от будущих проблем.

Изменения будут выглядеть как на графике выше, но не изменится производственная функция на душу населения.Мы знаем это k и y увеличиваются, но c зависит от золотого правила.

е. Психологи утверждают, что детям нужна большая родительская поддержка, чтобы иметь хорошо приспособленный детство. Это вызывает большое количество семей с двумя доходами перейти на семью с одним доходом с домоседом родитель. Это вызовет постоянное уменьшение доли численность населения в составе рабочей силы (темпы прироста населения не изменились).

Увеличение численности рабочей силы не влияет на темпы роста рабочая сила, поэтому нет никакого влияния на устойчивое соотношение капитала к рабочей силе или по потреблению на рабочего . Однако у нашей модели есть ограничения.

У нас нет возможности учитывать группу, которая не участвует в производстве и, как и все экономические модели, наша сила — cet.par. состояние, которое маскирует бесчисленное множество эффектов, которые произойдут в этой ситуации.

5. В экономике есть производство на душу населения. функция y = Ak ^α h ^1-α , где A и a — фиксированные параметры, y — производительность на одного рабочего, k — капитальные затраты коэффициент, а ч — человеческий капитал на одного работника, мера навыков и дождь среднего рабочего. Производственная функция подразумевает, что для данного соотношение капитала и труда, увеличение среднего человеческого капитала увеличивает выпуск продукции на одного работника.

Норма экономии экономики составляет с , и вся экономия используется для создать физический капитал, который обесценивается со скоростью d . Рабочие приобретают навыки работы с капиталом; чем больше у них капитала работать, тем больше навыков они приобретают. Мы улавливаем эту идею, предполагая, что человеческий капитал на одного работника всегда пропорционально размеру физического капитала на одного работника, или ч = крон, где B — фиксированный параметр.

Найдите долгосрочные темпы роста физического капитала, человеческого капитала. капитал и выпуск в экономике.

Я поставил эту задачу по двум причинам. Первый, требовалось аналитическое математическое мастерство, отличное от основная алгебра выше. Во-вторых, это показывает расширение нашей модели. Теперь это более реалистично, но и более сложно. Компромисс в экономике. Об этом мы поговорим после теста, и вы не увидите эту нашу последнюю раздел главы 6 о нашем тесте.

Предположим, что имеется постоянное количество рабочих, N , так что Ny знак равно Y и Nk = K . С y = Ak ^a h ^{1– a} и
ч = Bk , затем y знак равно A k ^a ( Bk ) ^{1– a} = (AB ^{1– a} ) k .Тогда Y = Ny = (AB ^{1 – a} ) K = XK , где X равно AB ^{1 – a} . Это ставит производственная функция в обозначениях, используемых в главе.

Инвестиции D K + дК = sY = национальный экономия. Разделив обе части этого выражения на K и используя производственная функция дает D K / K + d = sXK / K = sX , , поэтому D K / K = sX — д , что представляет собой долгосрочные темпы роста физического капитала.Поскольку выход и человеческий капитал пропорционален физическому капиталу, при этом все они будут расти такая же ставка.

Модель роста Solow

Чтобы сконцентрировать внимание на том, что происходит с Q / L или выпуск на одного работника (и, следовательно, если коэффициент занятости не изменится, выпуск на душу населения), Солоу переписал производственную функцию Кобба-Дугласа в то, что мы будем называть на душу населения:

Определение q = Q / L и k = K / L, то есть позволяя строчным буквам равные переменные на душу населения , мы имеем

это ключевая формула, с которой мы будем работать. Мы рассмотрим, как работает модель, когда рост происходит за счет капитала. накопление, и как это работает, когда рост происходит за счет инноваций.

Рост за счет накопления капитала

1. функция экономии — сколько продукции сделать люди в нашей модельной экономике экономят? Простейшее предположение (которое мы будем изучите более подробно позже в курсе, и сделаю вывод, может быть довольно хорошее представление о поведении людей) состоит в том, что люди экономят заданная доля выпуска.Для конкретного примера мы предположим, что люди экономят 1/4 объема продукции, или что то же самое, 25 центов на каждый доллар дохода. Функция экономии следовательно является: s = 0,25 q
2. условие равновесия . Мы обнаружим, что если накопление капитала — единственный источник роста, экономика приблизится равновесие или устойчивое состояние . Это достигнет устойчивого состояния, когда сбережений будет достаточно, чтобы заменить амортизированный основной капитал. Если предположить, что в каждый раз, когда капитал полностью обесценивается, условие равновесия просто s = k

   Обратите внимание, что если бы амортизация составляла только 10 процентов основного капитала, условие равновесия будет s = 0,10 k . Хотя это является более реалистичным показателем годовой амортизации, мы предполагаем 100% обесценивание для простоты — и если вас беспокоит отсутствие реализма, вы можете думать о наших временных периодах как о десятилетиях, а не о годах.

Пусть A = 100 и a = 0,5 в производственной функции Solow на душу населения. Обратите внимание, что a = 0,5 означает «извлечь квадратный корень из k», а A = 100 означает «затем умножьте это на 100», чтобы получить производительность на одного рабочего.
То есть пусть наша производственная функция будет:

Подумайте, что произойдет, если мы начнем со 100 единиц капитала на одного рабочего. Мы можем использовать производственную функцию, чтобы вычислить q = 1000.

Следующим шагом является использование функции экономии для подсчитайте, сколько из этого вывода будет сохранено.Если s = 0,25 q , то 250 единиц на душу населения единиц выход сохраняется — и сбережений за один период становятся капитал следующего периода.

Обратите внимание, что это означает, что в следующем периоде основной капитал будет иметь увеличен со 100 до 250 .
Поскольку производственная функция не изменилась, выпуск в следующем периоде будет быть q = 100 (250) ^0,5 = 1581

Еще раз отметим, что экономия равна 0.25 выходных; и 0,25 х 1581 = 395,3, так что экономия в следующем периоде будет 395,3.

Следовательно, капитал в третьем периоде будет 395,3, и выход в третьем периоде будет:

Эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока вы можете пробивать калькулятор; Результаты за первые 7 периодов:

Остановится ли рост? То есть будет ли выход сходиться к установившемуся состоянию ? Ответ да . Мы можем найти установившегося равновесия , используя условие равновесия :

Замените s функцией экономии чтобы получить:

Замените вывод производственной функцией , чтобы получить:

Наконец, разделите на k ^0,5 , чтобы получить:

и возведем обе стороны в квадрат, чтобы получить равновесный основной капитал

Если равновесный запас капитала равен 625, равновесный выпуск (найденный с использованием производственная функция q = 100 k ^0,5 ) будет:

Обратите внимание: если сбережения составляют 1/4 объема выпуска, это означает, что равновесных сбережений, равно 625 — ровно достаточно, чтобы заменить основной капитал в следующем периоде, и поддерживать экономику в стабильном состоянии с объемом производства на уровне 2500 и запасом капитала в 625 когда-либо.

Предсказания модели

1. Рост будет очень сильным, когда страны впервые начнут накапливать капитала, и будет замедляться по мере продолжения процесса накопления. В 1950-х и 1960-х годах рост в Японии был выше, чем сейчас.
2. Страны будут стремиться к сходимости выпуска за на душу населения и по уровню жизни. Как Гонконг, Сингапур, Тайвань (и т. Д.) накапливают капитал, их уровень жизни догонит первоначальный более развитые страны.Когда все страны достигли устойчивого состояния, во всех странах будет одинаковый уровень жизни (по крайней мере, если у них та же производственная функция, что для большинства промышленных товаров является разумным предположение).

1. Темпы роста в США были на ниже , по крайней мере, на на душу населения, в 19 веке, чем в двадцатом.
2. Советский Союз при Сталине сэкономил больший процент национального доход, чем в США.Из-за более высокой нормы сбережений и из-за того, что начав с более низкого уровня капитала, он должен был наверстать упущенное. быстро. Это не так.
3. Менее развитые страны, за некоторыми исключениями, например Тайвань, Корея, Сингапур и Гонконг — в целом не догоняют развитые страны. Действительно, во многих случаях разрыв составляет , увеличиваясь на .

Рост многофакторной производительности

Примечания к лекции 11

учет роста

Учет роста

Y = A x F (K, N)
(изменение в Y) / Y = (изменение в A) / A + альфа _K (изменение в K) / K + альфа _N (изменение в N) / N

Это уравнение можно использовать для эмпирического измерения вклада трех источников роста.

В США с 1929 по 1982 год среднегодовые темпы роста производства составляли 2,92%.

вклад роста рабочей силы: 1,34%
вклад роста капитала: 0,56%
вклад роста производительности труда: 1,02%

Замедление производительности

1. Снижение качества рабочей силы
2. чрезмерное государственное регулирование
3. шоки цен на нефть

Неоклассическая модель роста

Предположим, что замкнутая экономика без правительства, так что C _t = Y _t — I _t .

Мы хотим понять, как эти переменные меняются с течением времени:

• y _т = Y _т / N _т = производительность на одного рабочего
• c _т = C _т / N _т = потребление на одного рабочего
• k _t = K _t / N _t = основной капитал на одного работника = соотношение капитала и труда

K _t / N _t постоянна в установившемся состоянии. Следовательно, K _т должен расти с той же скоростью, что и N _т .

Пусть d = норма амортизации

(1) I _t = (n + d) K _t в установившемся режиме
(2) C _t = Y _t — (n + d) K _t в установившемся режиме
делить уравнение (2) по N _t
(3) c = f ( k ) — (n + d) k
(предположим, что увеличение k вызывает увеличение c )

Пусть экономия = S _t = sY _t .

Для равновесия товарного рынка требуется _{фунтов стерлингов} фунтов стерлингов = _{фунтов стерлингов} фунтов стерлингов.Это означает, что sY _t = (n + d) K _t в установившемся состоянии. Разделив обе стороны на N _t , получим

(4) sf ( k ) = (n + d) k в установившемся режиме.

Уравнение (4) говорит, что сбережения на одного работника равны инвестициям на одного работника в устойчивом состоянии. Значение k , определяемое уравнением (4), k ^* , является устойчивым соотношением капитала к труду .

От чего зависит долгосрочный уровень жизни и темпы роста

1. норма (и) экономии

2. Прирост населения (n)

3. Рост производительности

Конвергенция

В богатых районах высока доля капиталовложений, поэтому прибыль на капитал уменьшается. Следовательно, есть низкая доходность капитала и небольшие инвестиции. Таким образом, рост производства невысокий.

Есть веские доказательства конвергенции внутри США и между развитыми индустриальными странами. Но у бедных стран не было тенденции к более быстрому росту, чем у богатых.Его отсутствие можно объяснить различиями в человеческом капитале.

Теория эндогенного роста

1. предполагает, что темп роста выпуска является экзогенным
2. отсутствие конвергенции между странами

1. может сделать рост производительности эндогенным, если предположить, что на него влияет доля дохода, направляемая на расходы на НИОКР.
2. может предположить, что существует постоянная или возрастающая отдача от труда или капитала

Пусть Y = aK и n = d = 0,
, тогда изменим на K = sY = saK.

Итак, темп роста основного капитала = темп роста выпуска = sa. На темп роста в устойчивом состоянии влияет норма сбережений. Страны с разными темпами сбережений и инвестиций будут иметь постоянные различия в темпах роста. Эндогенный теория роста предсказывает отсутствие сходимости, но исследования обнаружили условную сходимость . Влияние на рост различных норм сбережений временное.

Почему одни страны производят намного больше продукции на одного работника, чем другие? на JSTOR

Объем производства на одного работника сильно различается в зависимости от страны.Почему? С точки зрения бухгалтерского учета, наш анализ показывает, что различия в физическом капитале и образовательном уровне могут лишь частично объяснить различия в выпуске продукции на одного работника — мы обнаруживаем большие различия в уровне остатка Солоу по странам. На более глубоком уровне мы документально подтверждаем, что различия в накоплении капитала, производительности и, следовательно, выпуске на одного работника обусловлены различиями в институтах и ​​государственной политике, которую мы называем социальной инфраструктурой. Мы относимся к социальной инфраструктуре как к эндогенной, исторически определяемой местоположением и другими факторами, частично отражаемыми языком.

The Quarterly Journal of Economics (QJE) — старейший профессиональный экономический журнал на английском языке. Отредактировано в Факультет экономики Гарвардского университета, он охватывает все аспекты области — от традиционного акцента журнала на микротеории до обоих эмпирическая и теоретическая макроэкономика. QJE бесценен для профессиональных и академических экономистов и студентов по всему миру.

Oxford University Press — это отделение Оксфордского университета.Издание во всем мире способствует достижению цели университета в области исследований, стипендий и образования. OUP — крупнейшая в мире университетская пресса с самым широким присутствием в мире. В настоящее время он издает более 6000 новых публикаций в год, имеет офисы примерно в пятидесяти странах и насчитывает более 5500 сотрудников по всему миру. Он стал известен миллионам людей благодаря разнообразной издательской программе, которая включает научные работы по всем академическим дисциплинам, библии, музыку, школьные и университетские учебники, книги по бизнесу, словари и справочники, а также академические журналы.

Глава 8 Карточки | Quizlet

г. Мы знаем следующие факты о странах A и B:
δ = норма амортизации = 0,20,
sa = норма сбережений страны A = 0,1,
sb = норма сбережений страны B = 0,3, и
y = k1 / 3 является производственная функция на одного работника, полученная в части (b) для стран A и B.
Рост основного капитала Δk равен сумме инвестиций sf (k) за вычетом суммы
амортизации δk. То есть Δk = sf (k) — δk. В устойчивом состоянии основной капитал не растет, поэтому мы,
, можем записать это как sf (k) = δk.1/3 = 1,22.

Мы знаем, что из каждого доллара дохода рабочие откладывают долю s и потребляют долю (единицы). То есть функция потребления равна c = (1 — s) y. Поскольку нам известны стабильные уровни дохода
в двух странах, мы находим

Страна A: c = (1 — sa) y = (1 — 0,1) (0,71)
= 0,64.

Страна B: c = (1 — sb) y = (1 — 0,3) (1,224)
= 0,86.

г. Если капитал на одного рабочего равен 1 в обеих странах, мы находим следующие значения для дохода на
рабочих и потребления на одного рабочего в каждой стране:
Страна A: y = 1 и c = 0.1/3
c = (1 — s) y.

Обратите внимание, что пройдет семь лет, прежде чем потребление в стране B превысит потребление в
стране A

Средняя и предельная производительность — Экономика

Для ознакомления с серией Лейбница см. «Знакомство с Лейбницем».

Производственная функция Алексея, графически представленная на Рисунке 1, описывает, как его ежедневные часы учебы переводятся в его итоговую оценку. Мы видели, что его предельный продукт в каждой точке — это наклон функции, а его среднее произведение — это наклон луча к началу координат.Теперь посмотрим, как математически описать предельный и средний продукты.

Рисунок 1 Как время, потраченное на учебу, влияет на оценку Алексея?

Общее математическое представление этой связи:

где — итоговая оценка (его результат), а — часы обучения в день (ввод). это производственная функция.

средний продукт

Общий выпуск, деленный на определенные затраты, например, на одного работника (деленный на количество рабочих) или на одного рабочего в час (общий выпуск, деленный на общее количество затраченных часов труда).

Когда Алексей учится по часам в день, его средний продукт труда (APL) рассчитывается путем деления итоговой оценки на количество изученных часов:

Это среднее количество баллов за час ежедневного обучения. На диаграмме это наклон луча к началу координат.

предельный продукт

Дополнительный объем выпуска, который произведен, если конкретный ввод был увеличен на одну единицу, при сохранении всех остальных затрат постоянными.

Мы определили предельный продукт Алексея труда (MPL) как повышение его оценки за счет увеличения времени учебы на один час. Точнее, это скорость, с которой его оценка повышается по мере увеличения времени обучения, что соответствует наклону производственной функции.

Чтобы убедиться в этом, предположим, что он занимается часами в день. Чтобы найти его предельный продукт, мы рассматриваем, как изменится его оценка, если он увеличит свое учебное время на несколько часов. Если оценка увеличивается на, то изменение оценки на единицу изменения учебного времени составляет:

При стремлении к нулю эта дробь стремится к производной функции.Пишем:

, который представляет собой наклон производственной функции. Другими словами, предельный продукт Алексея, когда он учится часами, определяется производной производственной функции:

Это расчетное определение предельного продукта. Мы будем использовать исчисленные определения предельных величин в последующих Лейбнизах. В тексте мы рассчитали предельный продукт, найдя увеличение выпуска при увеличении затрат на одну единицу. Это дает хорошее приближение к предельному продукту, определяемому расчетом, если отдельные единицы представляют собой небольшие количества.Например, на рисунке 1 единицы измерения — часы, а на горизонтальной оси отложено 24 часа. Увеличение выпуска при увеличении ввода на один час является грубым приближением к наклону. Но если вместо этого мы поместим минуты на горизонтальную ось и вычислим увеличение выхода, когда вход увеличится на минуту, мы получим очень близкое приближение к наклону этой функции.

Пример

Производственная функция со свойствами, подобными показанным на Рисунке 1:

где и — такие константы, что и; они определяют точное местоположение и кривизну производственной функции.Ниже мы объясним, почему ограничивается диапазоном значений от 0 до 1. Обратите внимание, что эта функция имеет стандартные свойства производственной функции: когда и когда положительна, выпуск также положителен.

Ограничение гарантирует, что производственная функция увеличивается для всех (это может быть ясно вам из того, что вы знаете о показателях (степенях), но мы проверим это ниже, показав, что предельный продукт положительный). Это означает, что функция не является точным представлением функции на рисунке 1, которая является постоянной (плоской) для.

средний продукт труда тогда:

Предельный продукт труда является производной производственной функции:

Обратите внимание, что мы можем переписать MPL как:

Мы знаем, что когда положительно, положительно тоже. Таким образом, из этого уравнения вы легко можете увидеть, что это означает, что предельный продукт труда положительный — другими словами, оценка Алексея увеличивается с количеством часов, проведенных в школе.

Как насчет ограничения? Поскольку средний продукт труда равен, а предельный продукт труда равен, это отношение предельного продукта к среднему продукту.Итак, наше предположение означает, что предельный продукт труда меньше среднего продукта труда. Вы можете увидеть это на рисунке 1, если сравните MPL (наклон кривой) и APL (наклон луча к началу координат), показанные в точке где.

Это свойство производственной функции подразумевает, что независимо от того, сколько часов обучения выберет Алексей, дополнительные баллы, которые он получит за один дополнительный час обучения, будут меньше, чем среднее количество баллов за час, которое он заработал до сих пор.

Подробнее: Раздел 6.1 и Раздел 6.4 Малкольма Пембертона и Николаса Рау. 2015. Математика для экономистов: Вводный учебник , 4-е изд. Манчестер: Издательство Манчестерского университета.

Модель роста Солоу

Анализ в главе 6 «Глобальное процветание и глобальная бедность» (неявно) основан на теории экономического роста, известной как модель роста Солоу. Здесь мы представляем две формальные версии математики модели.Первый рассматривает уравнение накопления капитала и объясняет, как основной капитал развивается в экономике. Эта версия игнорирует роль человеческого капитала и игнорирует долгосрочную траекторию роста экономики. Второй следует за изложением главы и основан на выводе пути сбалансированного роста. Однако это просто два разных подхода к решению одной и той же проблемы.

Презентация 1

Представление модели состоит из трех компонентов: технологии, накопления капитала и сбережений.Первым компонентом модели роста Солоу является спецификация технологии, которая исходит из совокупной производственной функции. Мы выражаем выпуск на одного рабочего ( y ) как функцию капитала на одного рабочего ( k ) и технологии ( A ). Математическое выражение этой связи —

, где f ( k ) означает, что выпуск на одного рабочего зависит от капитала на одного рабочего. Как и в нашем представлении производственных функций, объем производства увеличивается с развитием технологий.Мы предполагаем, что f () обладает такими свойствами, что увеличение капитала приводит к увеличению выпуска на душу населения с уменьшающейся скоростью. В качестве примера предположим, что

В этом случае предельный продукт капитала положительный, но убывающий.

Второй компонент — накопление капитала. Если мы позволим k _t быть размером капитала на душу населения в начале года t , то мы узнаем, что

Это выражение показывает, как основной капитал изменяется с течением времени. Здесь δ — коэффициент физического износа, так что между t и t +1, δ k _t единиц капитала теряется из-за амортизации. Но в течение года t , есть инвестиции ( i _t ), которые принесут новый капитал в следующем году.

Последний компонент модели роста Солоу — сбережения.В закрытой экономике сбережения — это то же самое, что и инвестиции. Таким образом, мы связываем i _t в уравнении накопления с экономией. Предположим, что экономия на душу населения ( с _т ) равна

Здесь s — константа между нулем и единицей, поэтому сохраняется только часть общего вывода.

Используя тот факт, что сбережения равны инвестициям, наряду с производственной функцией на душу населения, мы можем связать инвестиции с уровнем капитала:

Затем мы можем записать уравнение эволюции основного капитала следующим образом:

После того, как мы указали функцию f (), мы можем проследить эволюцию запаса капитала во времени. Как правило, динамика запаса капитала во времени имеет два важных свойства:

1. Устойчивое состояние. Существует особый уровень запаса капитала, так что, если экономика накапливает это количество капитала, она остается на этом уровне капитала. Мы называем это устойчивым уровнем капитала, обозначаемым k *.
2. Стабильность. Экономика будет ориентирована на основной капитал на душу населения тыс. *.

Чтобы быть более конкретным, уровень капитала в устойчивом состоянии решает следующее уравнение:

В устойчивом состоянии сумма капитала, потерянного из-за амортизации, в точности компенсируется экономией. Это означает, что в устойчивом состоянии чистые инвестиции равны нулю. Свойство стабильности означает, что если текущий запас капитала ниже k *, экономика будет накапливать капитал так, чтобы k _{t +1} > k _t . И если текущий запас капитала превышает k *, экономика декумулирует капитал, так что k _{t +1} < k _t .

Если две страны используют одну и ту же технологию ( A ) и одну и ту же производственную функцию [ f (k)], то со временем эти две страны в конечном итоге будут иметь одинаковый запас капитала на одного работника. Если есть различия в технологии или производственной функции, то у двух стран нет причин приближаться к одному и тому же уровню основного капитала на одного работника.

Презентация 2

В этой презентации мы объясняем путь сбалансированного роста экономики и подтверждаем некоторые утверждения, сделанные в тексте.Модель принимает как заданную (экзогенную) норму инвестиций; норма амортизации; и темпы роста рабочей силы, человеческого капитала и технологий. Эндогенными переменными являются объем производства и запас физического капитала.

Обозначения для представления приведены в Таблице 16.10 «Обозначения в модели роста Solow»: Мы используем обозначение g _x для представления скорости роста переменной x ; то есть gx = Δxx =% Δx.

Модель состоит из двух ключевых компонентов: агрегированной производственной функции и уравнения накопления капитала.

Таблица 16.10 Обозначения в модели роста Солоу

Производственная функция

Производственная функция, которую мы используем, — это производственная функция Кобба-Дугласа :

Уравнение 16.1

Учет роста

Если мы применим правила темпов роста к уравнению 16.1, мы получим следующее выражение:

Уравнение 16.2

Сбалансированный рост

Условие сбалансированного роста: г _Y = г _K . Когда мы накладываем это условие на наше уравнение темпов роста выпуска (уравнение 16.2), мы получаем

, где верхний индекс «BG» указывает на то, что мы рассматриваем значения переменных, когда экономика находится на пути сбалансированного роста.Это уравнение упрощается до

Уравнение 16.3

Рост выпуска по траектории сбалансированного роста зависит от темпов роста рабочей силы, человеческого капитала и технологий.

Используя это, мы можем переписать уравнение 16.2 следующим образом:

Уравнение 16.4

Фактические темпы роста выпуска — это среднее значение сбалансированных темпов роста выпуска и темпов роста основного капитала.

Накопление капитала

Вторая часть нашей модели — это уравнение накопления капитала. Темп роста основного капитала равен

Уравнение 16,5

Разделите числитель и знаменатель первого члена на Y , помня, что i = I / Y .

Уравнение 16.6

Темп роста основного капитала зависит положительно от нормы инвестиций и отрицательно от нормы амортизации. Это также отрицательно зависит от текущего коэффициента выпуска капитала.

Коэффициент сбалансированности роста капитала и выпуска

Теперь измените уравнение 16.6, чтобы получить отношение капитала к валовому внутреннему продукту (ВВП), учитывая норму амортизации, норму инвестиций и темп роста основного капитала:

Когда экономика находится на пути сбалансированного роста, г _K = gYBG, поэтому

Мы также можем заменить в нашем выражении сбалансированного роста gYBG (уравнение 16.3), чтобы получить выражение для коэффициента выпуска капитала сбалансированного роста в терминах экзогенных переменных.

Конвергенция

Доказательство того, что экономики приблизятся к сбалансированному соотношению капитала к ВВП, относительно несложно.Мы хотим показать, что если K / Y <(KY) BG, то капитал растет быстрее, чем выпуск. Если капитал растет быстрее, чем объем производства, g _K — g _Y > 0. Сначала вернитесь к уравнению 16.4:

Вычтите обе стороны из темпа роста капитала:

Теперь сравните общее выражение отношения капитала к ВВП с его значением сбалансированного роста:

и

Если K / Y <(KY) BG, то должно быть так, что g _K > gYBG, что означает (из предыдущего уравнения), что g _K > г _Y .

Производительность на рост рабочего

Если мы хотим исследовать рост выпуска на одного рабочего, а не общего выпуска, мы берем производственную функцию на одного рабочего (уравнение 16.2) и примените к этому уравнению правила темпов роста.